Задача №17837

Трапеция $KLMN$ вписана в окружность радиуса $R$ и описана около окружности радиуса $r\text{,}$ причем $R=\frac{3}{2}r\text{.}$ Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ $KM$ равна $3\text{.}$

Поскольку трапеция $KLMN$ вписана в окружность, она равнобедренная: боковые стороны равны, $KL=MN=c\text{,}$ основания обозначим $a$ и $b\text{.}$

Описанность (вписанная окружность радиуса $r$). Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны, то есть $a+b=2c\text{.}$ Отсюда искомая средняя линия $m=\frac{a+b}{2}=c\text{.}$

Высота равнобокой трапеции выражается через боковую сторону и разность оснований: $c^2={\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2+h^2\text{.}$ Подставляя $c=\frac{a+b}{2}\text{,}$ получаем

Связь высоты с $r\text{.}$ Вписанная окружность касается обоих оснований, лежащих на параллельных прямых, поэтому расстояние между основаниями равно диаметру: $h=2r\text{,}$ значит $r=\frac{h}{2}\text{,}$ $r^2=\frac{ab}{4}\text{.}$

Радиус описанной окружности $R\text{.}$ Поместим трапецию симметрично оси $Oy\text{:}$ $K=\left(-\frac{a}{2},0\right)\text{,}$ $N=\left(\frac{a}{2},0\right)\text{,}$ $L=\left(-\frac{b}{2},h\right)\text{,}$ $M=\left(\frac{b}{2},h\right)\text{.}$ Центр описанной окружности $(0,k)$ находится из равенства расстояний до оснований: $k=\frac{-a^2+b^2+4h^2}{8h}\text{,}$ и

Условие $R=\frac{3}{2}r\text{.}$ Тогда $R^2=\frac{9}{4}{r}^2=\frac{9ab}{16}\text{,}$ откуда

Условие $KM=3\text{.}$ Диагональ $KM$ из $\left(-\frac{a}{2},0\right)$ в $\left(\frac{b}{2},h\right)$ даёт

Решение системы (1)-(2). Введём $p=a+b\text{,}$ $q=ab\text{.}$ Из (2): $\frac{p^2}{4}+q=9\text{.}$ Уравнение (1) после раскрытия приводится к соотношению между $p$ и $q\text{;}$ совместное решение даёт $a$ и $b\text{:}$

(второй корень системы — перестановка $a\leftrightarrow b\text{;}$ средняя линия от этого не меняется). Оба значения положительны ($a\approx 1,570\text{,}$ $b\approx 2,755$), посторонних корней нет, ОДЗ $a,b>0$ выполнено. Тогда

Ответ: средняя линия равна $\sqrt{10}-1\text{.}$