Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
cos(x−xa)=x−1имеет бесконечно много решений.
ОДЗ уравнения cos(x−xa)=x−1 есть x=0.
Локализация решений. Поскольку левая часть по модулю не превосходит 1, необходимо −1⩽x−1⩽1, то есть 0⩽x⩽2. С учётом x=0 все решения лежат в полуинтервале (0,2]. Тем самым множество решений ограничено, и «бесконечно много решений» возможно лишь за счёт их накопления к точке x=0.
Случай a=0. Уравнение принимает вид cosx=x−1. Рассмотрим g(x)=cosx−x+1 на (0,2]. Имеем g′(x)=−sinx−1⩽0, причём равенство достигается лишь в изолированных точках, поэтому g строго убывает. Так как g(0+)=2>0, а g(2)=cos2−1<0, функция меняет знак ровно один раз: единственное решение x≈1,283. Решений конечное число (одно), условие не выполнено.
Случай a=0. Положим φ(x)=x−xa. При x→0+ слагаемое −xa неограниченно растёт по модулю, поэтому ∣φ(x)∣→+∞ (а именно φ(x)→−∞ при a>0 и φ(x)→+∞ при a<0). Значит, найдётся последовательность чисел xm∈(0,δ), для которых φ(xm)=πm (целые m с ∣m∣ сколь угодно большими), и таких xm бесконечно много в любой правой окрестности нуля.
В этих точках cosφ(xm)=cos(πm)=(−1)m. Обозначим h(x)=cosφ(x)−(x−1). Тогда
h(xm)=(−1)m−(xm−1).Так как xm∈(0,2), правая часть xm−1∈(−1,1), поэтому
при чётном m:h(xm)=2−xm>0,при нечётном m:h(xm)=−xm<0.На двух соседних точках xm,xm+1 непрерывная функция h принимает значения разных знаков, значит по теореме о промежуточном значении между ними лежит корень уравнения h(x)=0. Поскольку пар соседних точек (xm,xm+1) бесконечно много (они накапливаются к 0+), уравнение имеет бесконечно много решений.
Вывод. При a=0 решение единственно; при любом a=0 решений бесконечно много. Ответ: a=0.