В основании прямой призмы KLMK′L′M′ лежит прямоугольный треугольник KLM, такой что KM=LM=1. На ребре K′M′ верхнего основания (параллельном KM) отмечена точка N, так что K′N:NM′=3:1. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр KL′MN, если высота призмы равна 1.
Сначала определим вершину прямого угла. Стороны KM и LM равны и выходят из вершины M. Если бы прямой угол был при K или L, то одна из сторон KM,LM была бы гипотенузой, а другая — катетом, но при равных длинах это невозможно (гипотенуза строго длиннее катета). Значит, прямой угол при M, а MK⊥ML — катеты, KL=2 — гипотенуза.
Введём координаты: M=(0,0,0), K=(1,0,0), L=(0,1,0), высота призмы 1 ⇒ M′=(0,0,1), K′=(1,0,1), L′=(0,1,1).Точка N на ребре K′M′ (параллельном KM) с K′N:NM′=3:1:
N=K′+43(M′−K′)=(1,0,1)+43(−1,0,0)=(41,0,1).Рассмотрим тетраэдр KL′MN с вершинами
K=(1,0,0),L′=(0,1,1),M=(0,0,0),N=(41,0,1).Объём. Берём M=(0,0,0) за начало; рёбра MK=(1,0,0), ML′=(0,1,1), MN=(41,0,1):
V=61MK⋅(ML′×MN)=61det1041010011=61⋅1=61.Площади граней (через половину модуля векторного произведения):
SKL′M=21∥MK×ML′∥=22,SKMN=21∥MK×MN∥=21, SL′MN=21∥ML′×MN∥=832,SKL′N=21∥KL′×KN∥=826.Полная площадь поверхности:
S=22+21+832+826=84+72+26.Радиус вписанной сферы. Для тетраэдра r=S3V:
r=84+72+263⋅61=4+72+2621⋅8=4+72+264≈0,2105. r=4+72+264≈0,21Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ