Задача №17838

В основании прямой призмы $KLM{K}^{\prime }{L}^{\prime }{M}^{\prime }$ лежит прямоугольный треугольник $KLM\text{,}$ такой что $KM=LM=1\text{.}$ На ребре $K^{\prime }{L}^{\prime }$ верхнего основания (параллельном $KL$) отмечена точка $N\text{,}$ так что $K^{\prime }N:N{L}^{\prime }=1:3\text{.}$ Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр $KL{M}^{\prime }N\text{,}$ если высота призмы равна $1\text{.}$

Введём прямоугольную систему координат. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник $KLM$ с катетами $KM=LM=1\text{;}$ прямой угол при вершине $M\text{.}$ Положим

Тогда $KM=LM=1\text{,}$ $(\overrightarrow{MK},\overrightarrow{ML})=0$ — условия выполнены, гипотенуза $KL=\sqrt{2}\text{.}$

Призма прямая, высота равна $1\text{,}$ поэтому верхнее основание — на уровне $z=1\text{:}$

Точка $N$ на ребре $K^{\prime }{L}^{\prime }$ делит его в отношении $K^{\prime }N:N{L}^{\prime }=1:3\text{,}$ значит

Рассматриваем тетраэдр $KL{M}^{\prime }N$ с вершинами

Радиус вписанной сферы найдём по формуле $r=\frac{3V}{S}\text{,}$ где $V$ — объём, $S$ — полная площадь поверхности.

Объём:

Площади четырёх граней (через половину модуля векторного произведения):

Полная поверхность:

Следовательно

Проверка ОДЗ/корректности: точка $N$ лежит на ребре $K^{\prime }{L}^{\prime }$ ($0<\frac{1}{4}<1$), тетраэдр невырожден ($V=\frac{1}{6}\ne 0$), центр вписанной сферы лежит строго внутри тетраэдра (все барицентрические координаты центра положительны), посторонних решений нет — радиус единствен.