Дана правильная треугольная пирамида. Известно, что центр сферы, описанной около этой пирамиды, равноудалён от боковых рёбер и от плоскости основания пирамиды. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду, если длина ребра её основания равна 12.

Пусть ABC — основание пирамиды, S — вершина, H — центр треугольника ABC , M — середина AB , O_1 — центр описанной сферы, O_2 — центр вписанной сферы. Поскольку точка O_1 равноудалена от AS и ABC , AO_1 — биссектриса треугольника ASH . Стало быть, HAO_1 = SAO_1 = ASO_1 = 30^ . Поскольку AB = 12 , имеем AH = 4sqrt(3) , откуда O_1H = 4 , O_1A = O_1S = 8 . Для треугольника MSH имеем SH = 12 , MH = 2sqrt(3) , откуда SM = 2sqrt(39) . Поскольку MO_2 — биссектриса, SO_2 = HO_2 * SM/MH = HO_2sqrt(13) . Стало быть, HO_2(1 + sqrt(13)) = SH = 12 , откуда HO_2 = sqrt(13) - 1 .

\( \sqrt{13} - 1 \)