Задача №17520

Дана правильная треугольная пирамида. Известно, что центр сферы, описанной около этой пирамиды, равноудалён от боковых рёбер и от плоскости основания пирамиды. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду, если длина ребра её основания равна 12.

Пусть $ABC$ — основание пирамиды, $S$ — вершина, $H$ — центр треугольника $ABC\text{,}$ $M$ — середина $AB\text{,}$ $O_1$ — центр описанной сферы, $O_2$ — центр вписанной сферы. Поскольку точка $O_1$ равноудалена от $AS$ и $ABC\text{,}$ $A{O}_1$ — биссектриса треугольника $ASH\text{.}$ Стало быть, $\angle HA{O}_1=\angle SA{O}_1=\angle AS{O}_1=30^{\circ }\text{.}$ Поскольку $AB=12\text{,}$ имеем $AH=4\sqrt{3}\text{,}$ откуда $O_{1}H=4\text{,}$ $O_{1}A=O_{1}S=8\text{.}$ Для треугольника $MSH$ имеем $SH=12\text{,}$ $MH=2\sqrt{3}\text{,}$ откуда $SM=2\sqrt{39}\text{.}$ Поскольку $M{O}_2$ — биссектриса, $S{O}_2=H{O}_2\cdot SM/MH=H{O}_2\sqrt{13}\text{.}$ Стало быть, $H{O}_2(1+\sqrt{13})=SH=12\text{,}$ откуда $H{O}_2=\sqrt{13}-1\text{.}$