Трапеция ABCD вписана в окружность радиуса R и описана около окружности радиуса r, причем R=2r. Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ AC равна 4.
Так как трапеция ABCD вписана в окружность, она равнобедренная. Обозначим основания AD=a, BC=b (a>b), боковые стороны c, высоту h, а среднюю линию m=2a+b.
Описанная окружность радиуса r (трапеция описана около неё). Для тангенциального четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: a+b=2c, откуда c=2a+b=m. Кроме того, в трапецию вписана окружность тогда и только тогда, когда её диаметр равен высоте, поэтому
h=2r.Геометрия равнобедренной трапеции. Положим A=(0,0), D=(a,0), B=(2a−b,h), C=(2a+b,h). Тогда боковая сторона удовлетворяет
c2=h2+(2a−b)2.Подставляя c=m=2a+b, получаем (2a+b)2=h2+(2a−b)2, то есть ab=h2. Обозначив t=2a−b, имеем t2=m2−h2 (в частности, требуется m⩾h).
Диагональ. Вектор AC=(2a+b,h)=(m,h), поэтому
AC2=m2+h2.По условию AC=4, значит m2+h2=16.
Вписанная окружность радиуса R (трапеция вписана в неё). Радиус описанной около трапеции окружности равен радиусу описанной окружности треугольника ACD. По формуле R=4SACDAC⋅CD⋅DA (или прямым подсчётом по координатам) для равнобедренной трапеции
R=8h4h2+(a−b)24h2+(a+b)2=2hh2+t2h2+m2.Но h2+t2=m2 и h2+m2=AC2=16, поэтому
R=2hm⋅4=h2m.Условие R=2r. Так как 2r=h, условие R=2r даёт h2m=h, то есть
h2=2m.Решение системы. Из m2+h2=16 и h2=2m получаем
m2+2m−16=0 ⟹ m=−1+17(второй корень −1−17<0 отброшен). При этом h2=2m=2(17−1)≈6,25, h≈2,50, и условие m⩾h выполнено (3,12⩾2,50); восстанавливаются a≈5,00, b≈1,25 — корректная трапеция.
Средняя линия трапеции равна m=17−1.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ