Задача №17827

Решите уравнение

$$\frac{\cos 3x}{\sin 2x}+\frac{\sin 3x}{\cos 2x}=\frac{\sin 2x}{\cos 3x}+\frac{\cos 2x}{\sin 3x}.$$

Решаем уравнение

$$\frac{\cos 3x}{\sin 2x}+\frac{\sin 3x}{\cos 2x}=\frac{\sin 2x}{\cos 3x}+\frac{\cos 2x}{\sin 3x}.$$

ОДЗ. Все четыре знаменателя отличны от нуля:

$$\sin 2x\ne 0,\cos 2x\ne 0,\cos 3x\ne 0,\sin 3x\ne 0.$$

Так как $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{,}$ условие $\sin 2x\ne 0$ равносильно $\sin x\ne 0$ и $\cos x\ne 0\text{.}$ Запомним это: точки $\cos x=0$ и $\sin x=0$ автоматически вне ОДЗ.

Преобразование частей. Приводя каждую сторону к общему знаменателю и пользуясь формулой косинуса разности $\cos 3x\cos 2x+\sin 3x\sin 2x=\cos (3x-2x)=\cos x\text{,}$ получаем для левой части

$$\frac{\cos 3x}{\sin 2x}+\frac{\sin 3x}{\cos 2x}=\frac{\cos 3x\cos 2x+\sin 3x\sin 2x}{\sin 2x\cos 2x}=\frac{\cos x}{\frac{1}{2}\sin 4x}=\frac{2\cos x}{\sin 4x},$$

а для правой части

$$\frac{\sin 2x}{\cos 3x}+\frac{\cos 2x}{\sin 3x}=\frac{\sin 2x\sin 3x+\cos 2x\cos 3x}{\cos 3x\sin 3x}=\frac{\cos x}{\frac{1}{2}\sin 6x}=\frac{2\cos x}{\sin 6x}.$$

Сведённое уравнение. В пределах ОДЗ уравнение равносильно

$$\frac{2\cos x}{\sin 4x}=\frac{2\cos x}{\sin 6x}⟺2\cos x\left(\frac{1}{\sin 4x}-\frac{1}{\sin 6x}\right)=0⟺\frac{2\cos x(\sin 6x-\sin 4x)}{\sin 4x\sin 6x}=0.$$

По формуле разности синусов $\sin 6x-\sin 4x=2\cos 5x\sin x\text{.}$ Значит, числитель равен $4\cos x\cos 5x\sin x\text{,}$ и уравнение даёт

$$[\begin{array}{l}\cos x=0\\ \sin x=0\\ \cos 5x=0\end{array}$$

при условии, что точка лежит в ОДЗ (в частности, $\sin 4x\ne 0\text{,}$ $\sin 6x\ne 0\text{,}$ что входит в исходное ОДЗ, поскольку $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$ и $\sin 6x=2\sin 3x\cos 3x$).

Отбор по ОДЗ. Случаи $\cos x=0$ и $\sin x=0$ исключены ОДЗ (см. выше: они нарушают $\sin 2x\ne 0$). Остаётся

$$\cos 5x=0⟺5x=\frac{\pi }{2}+j\pi ⟺x=\frac{\pi }{10}+\frac{j\pi }{5}=\frac{(2j+1)\pi }{10},j\in \mathbb{Z},$$

то есть $x=\frac{k\pi }{10}$ с нечётным $k\text{.}$

Проверим, какие из этих точек удовлетворяют ОДЗ. Знаменатели зависят от $x$ с периодом $2\pi \text{,}$ поэтому достаточно перебрать нечётные $k$ по модулю $20$ ($2\pi =\frac{20\pi }{10}$). При нечётном $k$ сразу $\cos x\ne 0$ (так как $\cos \frac{k\pi }{10}=0$ лишь при $k=5,15,\dots \text{,}$ см. ниже) — проверяем явно. Нарушение ОДЗ происходит лишь при $k\equiv 5(\mathrm{mod}10)\text{,}$ то есть $k=5,15\text{:}$ тогда $x=\frac{\pi }{2}+m\pi \text{,}$ где $\cos x=0\text{,}$ откуда $\sin 2x=0$ и одновременно $\cos 3x=\cos (\frac{3\pi }{2}+3m\pi )=0$ — два знаменателя обращаются в нуль. Все прочие нечётные $k$ (то есть $k=1,3,7,9,11,13,17,19(\mathrm{mod}20)$) дают все четыре знаменателя ненулевыми. Условие «$k$ нечётно и $k$ не делится на $5$» записывается как $k\in \mathbb{Z}\setminus (2\mathbb{Z}\cup 5\mathbb{Z})\text{.}$

Ответ.

$$x=\frac{k\pi }{10},k\in \mathbb{Z}\setminus (2\mathbb{Z}\cup 5\mathbb{Z}).$$