Задача №17825

Вычислите ${\log }_{12}3\cdot {\log }_{9}12\text{.}$

Все логарифмы определены: основания $12$ и $9$ положительны и отличны от $1\text{,}$ аргументы $3$ и $12$ положительны, поэтому выражение имеет смысл.

Переход к общему основанию. Применим формулу перехода к новому основанию (через натуральный логарифм): ${\log }_{b}c=\frac{\ln c}{\ln b}\text{.}$ Тогда

Множитель $\ln 12$ сократился, так что значение свелось к одному логарифму ${\log }_{9}3\text{.}$

Вычисление ${\log }_{9}3\text{.}$ Поскольку $9=3^2\text{,}$ по свойству логарифма степени в основании

Действительно, если ${\log }_{9}3=t\text{,}$ то $9^t=3\text{,}$ то есть $3^{2t}=3^1\text{,}$ откуда $2t=1$ и $t=\frac{1}{2}\text{.}$

Ответ. ${\log }_{12}3\cdot {\log }_{9}12=\frac{1}{2}.$