Задача №17823

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение

$$\sin \left(x-a\ln |x|\right)=x+1$$

имеет бесконечно много решений.

Левая часть уравнения по модулю не превосходит $1\text{,}$ поэтому решения возможны лишь там, где $-1⩽x+1⩽1\text{,}$ то есть при $-2⩽x⩽0\text{.}$ Кроме того, $x\ne 0$ (иначе $\ln |x|$ не определён). Значит все решения лежат в $[-2,0)$ — отрезке конечной длины; бесконечность решений может возникнуть только за счёт бесконечно частых колебаний при $x\to 0^{-}\text{.}$

Случай $a=0\text{.}$ Уравнение превращается в $\sin x=x+1\text{.}$ Рассмотрим $g(x)=\sin x-x-1\text{;}$ тогда $g^{\prime }(x)=\cos x-1⩽0\text{,}$ причём $g^{\prime }(x)=0$ лишь в отдельных точках $x=2\pi n$ (без целого интервала), поэтому $g$ строго убывает на всей оси. Строго монотонная функция имеет не более одного нуля, значит решение единственно (численно $x\approx -1,93$). Итог: при $a=0$ решений конечное число (ровно одно), бесконечного множества нет.

Случай $a\ne 0\text{.}$ Покажем, что решений бесконечно много, и они накапливаются к $0\text{.}$ Рассмотрим $F(x)=\sin (\psi (x))-(x+1)$ на интервале $(-1,0)\text{,}$ где $\psi (x)=x-a\ln |x|\text{.}$ На $(-1,0)$ имеем $x+1\in (0,1)\text{,}$ то есть правая часть строго между $-1$ и $1\text{.}$

Производная ${\psi }^{\prime }(x)=1-\frac{a}{x}\text{;}$ при $x\to 0^{-}$ слагаемое $-\frac{a}{x}$ неограниченно растёт по модулю, поэтому на некотором интервале $(-\delta ,0)$ знак ${\psi }^{\prime }$ постоянен — $\psi$ строго монотонна, и $\psi (x)\to +\infty$ при $a>0$ (соответственно $\to -\infty$ при $a<0$) при $x\to 0^{-}\text{.}$ Следовательно, при $x\to 0^{-}$ аргумент $\psi (x)$ пробегает сколь угодно большие значения и потому проходит через точки, где $\sin \psi =+1$ ($\psi =\frac{\pi }{2}+2\pi k$) и где $\sin \psi =-1$ ($\psi =-\frac{\pi }{2}+2\pi k$), бесконечно много раз и поочерёдно.

В точке, где $\sin \psi =+1\text{,}$ значение $F=1-(x+1)=-x>0$ (так как $x<0$); в точке, где $\sin \psi =-1\text{,}$ значение $F=-1-(x+1)=-x-2<0$ (так как $x>-1$). Между каждой парой соседних таких точек $F$ непрерывна и меняет знак с плюса на минус, поэтому по теореме о промежуточном значении имеет нуль. Этих промежутков при $x\to 0^{-}$ бесконечно много, значит уравнение $F(x)=0$ имеет бесконечно много корней, накапливающихся к $0\text{.}$ Та же выкладка работает и при $a<0$ (меняется лишь направление монотонности $\psi$). Итог: при любом $a\ne 0$ решений бесконечно много.

Вывод. Бесконечно много решений уравнение имеет тогда и только тогда, когда $a\ne 0\text{.}$

Ответ: $a\ne 0\text{.}$