Задача №17500

Найдите все положительные значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение

$${\log }_{2-x}\left(a^{2+x}+2a^{1-x}+x-1\right)+{\log }_{2+x}\left(a^{2-x}+2a^{1+x}-x-1\right)=2$$

имеет ровно одно решение (относительно $x$).

Если $x$ — решение, то и $-x$ — тоже решение. Стало быть, если решение единственно, то $0$ — решение. Подставляя $x=0\text{,}$ получаем ${\log }_2(a^2+2a-1)=1\text{,}$ то есть $a^2+2a-3=0\text{.}$ Поскольку $a$ положительно, $a=1\text{.}$
Подставим в исходное уравнение $a=1\text{.}$ Получим

$${\log }_{2-x}(2+x)+{\log }_{2+x}(2-x)=2.$$

При $x\ne 0$ левая часть строго больше 2, стало быть $x=0$ — единственное решение.