Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ
Трапеция KLMN вписана в окружность радиуса R и описана около окружности радиуса r. Найдите r, если R=20, а косинус угла между диагональю KM и основанием KN равен 4/5.
Трапеция KLMN вписана в окружность, значит она равнобедренная: основания KN (большее) и LM, боковые стороны KL=MN равны. Обозначим KN=a, LM=b, боковую сторону c, высоту h. Угол между диагональю KM и основанием KN — это угол ∠MKN, у которого cos∠MKN=54, откуда sin∠MKN=53 (угол острый, так как M лежит над основанием).
Шаг 1 (боковая сторона через вписанный угол). Угол ∠MKN — это вписанный угол окружности радиуса R, опирающийся на хорду MN. Но MN=c — боковая сторона трапеции. По теореме синусов для хорды:
MN=2Rsin∠MKN⟹c=2⋅20⋅53=24.Шаг 2 (условие описанности — Пито). Так как в трапецию вписана окружность, суммы противоположных сторон равны: KN+LM=KL+MN, то есть a+b=2c=48.
Шаг 3 (высота через угол диагонали). В равнобедренной трапеции верхнее основание центрировано над нижним, поэтому горизонтальная проекция диагонали KM равна 2a+b, а вертикальная равна h. Значит
tg∠MKN=cossin=43=(a+b)/2h⟹h=43⋅2a+b=43⋅24=18.Шаг 4 (радиус вписанной окружности). У всякой трапеции, описанной около окружности, окружность касается обоих оснований, поэтому расстояние между основаниями равно диаметру: h=2r. Отсюда
r=2h=218=9.Проверка совместности с R=20 (нет посторонних корней). Из a+b=48 и c2=h2+(2a−b)2 получаем (2a−b)2=242−182=252, 2a−b=67, значит a=24+67≈39,87, b=24−67≈8,13 (оба положительны и a>b — корректная трапеция). Полухорды 2a,2b дают расстояния от центра до оснований R2−(a/2)2≈1,58 и R2−(b/2)2≈19,58; их разность равна 18=h — все четыре вершины действительно лежат на окружности радиуса 20. Условия непротиворечивы, единственная допустимая конфигурация даёт r=9.