Задача №17820

От биостанции до границы заповедника вниз по реке ровно $8$ км. В $8:00$ браконьеры вошли на катере в заповедник и направились в сторону биостанции. В это же время им навстречу с биостанции вышел катер с рыбинспекторами. Через $6$ минут, когда рыбинспекторы были ровно посередине между биостанцией и браконьерами, браконьеры заметили катер рыбинспекции, тут же развернулись и направились обратно к границе заповедника. Когда браконьеры достигли границы, рыбинспекторы с чувством выполненного долга развернулись и отправились обратно на биостанцию, куда прибыли в $08:25\text{.}$ Найдите наименьшее расстояние, на котором находились браконьеры от рыбинспекторов, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

Введём ось вдоль реки: биостанция в точке $0\text{,}$ граница заповедника в точке $8$ (вниз по течению). Пусть собственная скорость каждого катера $v\text{,}$ скорость течения $w$ (в км/мин); течение направлено от биостанции к границе. Тогда вниз по течению катер идёт со скоростью $v+w\text{,}$ против течения — со скоростью $v-w\text{.}$

Этап 1 (первые 6 минут). Браконьеры стартуют из точки $8$ к биостанции (против течения), их координата $P(t)=8-(v-w)t\text{.}$ Рыбинспекторы стартуют из точки $0$ к границе (по течению), их координата $I(t)=(v+w)t\text{.}$

Через $6$ минут инспекторы ровно посередине между биостанцией $(0)$ и браконьерами, то есть $I(6)=\frac{P(6)}{2}\text{:}$

Отсюда $12(v+w)=8-6(v-w)\text{,}$ то есть $18v+6w=8\text{,}$ или

При этом $P(6)=8-6(v-w)$ и $I(6)=6(v+w)\text{.}$

Этап 2 (браконьеры идут к границе). В момент $t=6$ браконьеры разворачиваются и идут вниз по течению к точке $8$ со скоростью $v+w\text{:}$ их путь до границы равен $8-P(6)=6(v-w)\text{,}$ время ${\tau }_2=\frac{8-P(6)}{v+w}=\frac{6(v-w)}{v+w}\text{.}$ Инспекторы всё это время продолжают идти по течению, к моменту $t=6+{\tau }_2$ их координата $I(6)+(v+w){\tau }_2\text{.}$

Этап 3 (инспекторы возвращаются). Достигнув границы, браконьеры останавливают сюжет; инспекторы разворачиваются и идут против течения к биостанции $(0)$ со скоростью $v-w\text{,}$ затратив ${\tau }_3=\frac{I(6)+(v+w){\tau }_2}{v-w}\text{.}$ Прибытие в $08:25$ даёт общее время $6+{\tau }_2+{\tau }_3=25\text{.}$ $(2)$

Решение системы. Из $(1)$ и $(2)$ (с учётом ${\tau }_2,{\tau }_3>0$) получаем единственное допустимое решение

Тогда $v+w=\frac{1}{2}\text{,}$ $v-w=\frac{1}{3}$ (обе положительны, $v>w$ — катера могут идти против течения), и ${\tau }_3=15$ мин: $6+4+15=25$ — согласуется. Контроль: $P(6)=6\text{,}$ $I(6)=3=P(6)/2$ [OK]; в $t=10$ браконьеры на границе $(8)\text{,}$ инспекторы в точке $5\text{;}$ $I(25)=5-\frac{1}{3}\cdot 15=0$ — биостанция [OK].

Наименьшее расстояние. Расстояние между катерами $d(t)=|P(t)-I(t)|$ кусочно-линейно:
— на этапе 1 ($0\le t\le 6$): $P-I=8-\frac{5}{6}t$ убывает с $8$ до $3\text{;}$
— на этапе 2 ($6\le t\le 10$): браконьеры и инспекторы идут в одну сторону с одной скоростью $v+w\text{,}$ поэтому разность постоянна, $P-I=3\text{;}$
— на этапе 3 ($10\le t\le 25$): $P-I=\frac{1}{3}t-\frac{1}{3}$ возрастает с $3$ до $8\text{.}$
Таким образом, минимум достигается на всём этапе 2 и равен

Ответ: $3$ км.