Задача №17818

Решите неравенство

$$\frac{9}{2}{\left(1+2^{1-2x}\right)}^{-1/2}-\frac{1}{2}{\left(2^{2x}+2\right)}^{1/2}⩾3^{1/2}\cdot 2^{x/2}.$$

ОДЗ. Основания степеней с дробными показателями положительны при любом $x\text{:}$ $1+2^{1-2x}>0$ и $2^{2x}+2>0\text{.}$ Поэтому область допустимых значений — вся числовая прямая, и левая часть определена всюду.

Замена. Положим $t=2^x>0\text{.}$ Тогда

$$2^{1-2x}=\frac{2}{t^2},1+2^{1-2x}=\frac{t^2+2}{t^2},{\left(1+2^{1-2x}\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{t}{\sqrt{t^2+2}},$$ $$2^{2x}+2=t^2+2,{\left(2^{2x}+2\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{t^2+2},2^{x/2}=\sqrt{t}.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{9}{2}\cdot \frac{t}{\sqrt{t^2+2}}-\frac{1}{2}\sqrt{t^2+2}⩾\sqrt{3}\sqrt{t}.$$

Вторая замена. Введём $u=\sqrt{t+\frac{2}{t}}=\sqrt{\frac{t^2+2}{t}}>0\text{,}$ так что $\sqrt{t^2+2}=u\sqrt{t}\text{.}$ Подставляя:

$$\frac{9}{2}\cdot \frac{t}{u\sqrt{t}}-\frac{1}{2}u\sqrt{t}=\sqrt{t}\left(\frac{9}{2u}-\frac{u}{2}\right)=\frac{\sqrt{t}}{2u}\left(9-u^2\right).$$

Поскольку $\sqrt{t}>0\text{,}$ делим обе части на $\sqrt{t}\text{:}$

$$\frac{9-u^2}{2u}⩾\sqrt{3}.$$

Так как $u>0\text{,}$ умножаем на $2u>0$ (знак сохраняется):

$$9-u^2⩾2\sqrt{3}u⟺u^2+2\sqrt{3}u-9⩽0.$$

Решение по $u\text{.}$ Дискриминант $D=12+36=48\text{,}$ корни $u=\frac{-2\sqrt{3}\pm 4\sqrt{3}}{2}\text{,}$ то есть $u=\sqrt{3}$ и $u=-3\sqrt{3}\text{.}$ Значит $-3\sqrt{3}⩽u⩽\sqrt{3}\text{;}$ с учётом $u>0$ остаётся $0<u⩽\sqrt{3}\text{.}$

Возврат к $t\text{.}$ $u⩽\sqrt{3}⟺t+\frac{2}{t}⩽3\text{.}$ Умножая на $t>0\text{:}$ $t^2-3t+2⩽0⟺(t-1)(t-2)⩽0⟺1⩽t⩽2\text{.}$

Возврат к $x\text{.}$ $t=2^x\text{,}$ функция $2^x$ монотонно возрастает, поэтому $1⩽2^x⩽2⟺0⩽x⩽1\text{.}$

Проверка краёв. При $x=0$ и $x=1$ достигается равенство (см. самопроверку), поэтому концы включены.

Ответ: $0⩽x⩽1\text{.}$