Решите неравенство (9^x-3^(x+2)+14)*sqrt(4-2^x)<= 0.

Произведение двух множителей неположительно тогда и только тогда, когда множители имеют разные знаки (с учётом нестрогости — либо один из них обращается в нуль). Поэтому неравенство равносильно совокупности двух систем: cases9^x-3^(x+2)+14>= 0 sqrt(4-2^x)<= 0cases или cases9^x-3^(x+2)+14<= 0 sqrt(4-2^x)>= 0.cases Первый сомножитель удобно исследовать заменой y=3^x>0. Так как 9^x=y^2 и 3^(x+2)=9y, получаем квадратный трёхчлен y^2-9y+14 с корнями y_1=2 и y_2=7. Поэтому: 9^x-3^(x+2)+14>= 0 y<= 2 или y>= 7 x<=_3 2 или x>=_3 7, 9^x-3^(x+2)+14<= 0 2<= y<= 7 _3 2<= x<=_3 7. Теперь разберёмся с корнем. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому условие sqrt(4-2^x)<= 0 равносильно равенству нулю: sqrt(4-2^x)=0 4-2^x=0 2^x=4 x=2. Неравенство же sqrt(4-2^x)>= 0 выполнено всегда, лишь бы подкоренное выражение было определено: 4-2^x>= 0 2^x<= 4 x<= 2. Остаётся собрать ответ из обеих систем. Первая система даёт условие x=2 (из второго неравенства), и при этом значении первый множитель неотрицателен (поскольку 2>_3 7) — точка x=2 подходит. Вторая система требует одновременно _3 2<= x<=_3 7 и x<= 2. Поскольку _3 7<2, второе ограничение здесь автоматически выполнено, и получается отрезок [_3 2, _3 7]. Объединяя, получаем ответ [_3 2, _3 7]U2.

x\in[\log_3 2,\ \log_3 7]\cup\{2\}