Задача №17780

Решите неравенство

$$(9^x-3^{x+2}+14)\cdot \sqrt{4-2^x}\le 0.$$

Произведение двух множителей неположительно тогда и только тогда, когда множители имеют разные знаки (с учётом нестрогости — либо один из них обращается в нуль). Поэтому неравенство равносильно совокупности двух систем:

$$\{\begin{array}{l}{9}^x-3^{x+2}+14\ge 0\\ \sqrt{4-2^x}\le 0\end{array}\text{или}\{\begin{array}{l}{9}^x-3^{x+2}+14\le 0\\ \sqrt{4-2^x}\ge 0.\end{array}$$

Первый сомножитель удобно исследовать заменой $y=3^x>0\text{.}$ Так как $9^x=y^2$ и $3^{x+2}=9y\text{,}$ получаем квадратный трёхчлен $y^2-9y+14$ с корнями $y_1=2$ и $y_2=7\text{.}$ Поэтому:

$$9^x-3^{x+2}+14\ge 0⟺y\le 2\text{или}y\ge 7⟺x\le {\log }_{3}2\text{или}x\ge {\log }_{3}7,$$ $$9^x-3^{x+2}+14\le 0⟺2\le y\le 7⟺{\log }_{3}2\le x\le {\log }_{3}7.$$

Теперь разберёмся с корнем. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому условие $\sqrt{4-2^x}\le 0$ равносильно равенству нулю:

$$\sqrt{4-2^x}=0⟺4-2^x=0⟺2^x=4⟺x=2.$$

Неравенство же $\sqrt{4-2^x}\ge 0$ выполнено всегда, лишь бы подкоренное выражение было определено:

$$4-2^x\ge 0⟺2^x\le 4⟺x\le 2.$$

Остаётся собрать ответ из обеих систем.

Первая система даёт условие $x=2$ (из второго неравенства), и при этом значении первый множитель неотрицателен (поскольку $2>{\log }_{3}7$) — точка $x=2$ подходит.

Вторая система требует одновременно ${\log }_{3}2\le x\le {\log }_{3}7$ и $x\le 2\text{.}$ Поскольку ${\log }_{3}7<2\text{,}$ второе ограничение здесь автоматически выполнено, и получается отрезок $[{\log }_{3}2,{\log }_{3}7]\text{.}$

Объединяя, получаем ответ $[{\log }_{3}2,{\log }_{3}7]\cup \{2\}\text{.}$