Задача №17817

Вычислите ${\log }_{8}10\cdot {\log }_{10}4\text{.}$

Требуется вычислить ${\log }_{8}10\cdot {\log }_{10}4\text{.}$

Перейдём к натуральному логарифму по формуле перехода к новому основанию ${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}\text{.}$ Аргументы и основания всех логарифмов допустимы: основания $8>0,8\ne 1$ и $10>0,10\ne 1\text{;}$ числа под знаком логарифма $10>0$ и $4>0\text{,}$ поэтому выражение определено.

Множитель $\ln 10$ сокращается (он отличен от нуля, так как $10\ne 1$):

Распишем $\ln 4=\ln 2^2=2\ln 2$ и $\ln 8=\ln 2^3=3\ln 2\text{:}$

где сокращение на $\ln 2\ne 0$ законно. Эквивалентно, тот же результат сразу даёт ${\log }_{8}4={\log }_{2^3}{2}^2=\frac{2}{3}\text{.}$ Посторонних корней и краёв нет — это прямое вычисление числового выражения, а не уравнение.

Ответ: $\frac{2}{3}\text{.}$