Задача №17813

Трапеция $KLMN$ вписана в окружность радиуса $R$ и описана около окружности радиуса $r\text{.}$ Найдите $r\text{,}$ если $R=20\text{,}$ а косинус угла между диагональю $KM$ и основанием $KN$ равен $4/5\text{.}$

Трапеция $KLMN$ вписана в окружность радиуса $R=20$ и описана около окружности радиуса $r\text{.}$ Вершины идут по окружности в порядке $K,L,M,N\text{;}$ параллельные стороны (основания) — это $KN$ и $LM\text{,}$ а боковые стороны — $KL$ и $MN\text{.}$ Угол между диагональю $KM$ и основанием $KN$ — это угол $\angle MKN=\phi \text{,}$ причём $\cos \phi =\frac{4}{5}$ и, значит, $\sin \phi =\frac{3}{5}$ (угол острый, так как косинус положителен).

Трапеция равнобокая. Любая вписанная в окружность трапеция является равнобедренной: сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^{\circ }\text{,}$ а у трапеции углы при основании в сумме тоже дают $180^{\circ }\text{,}$ откуда углы при каждом основании равны и $KL=MN\text{.}$ Обозначим длину боковой стороны через $c=KL=MN\text{,}$ а основания через $a=KN$ и $b=LM\text{.}$

Боковая сторона через вписанный угол. Угол $\angle MKN$ — вписанный, он опирается на хорду $MN$ (боковую сторону). По теореме синусов для хорды, стягивающей вписанный угол $\phi \text{,}$

Следовательно,

Условие описанной окружности. Трапеция описана около окружности тогда и только тогда, когда суммы её противоположных сторон равны:

Отсюда

Высота трапеции и угол диагонали. Введём ось симметрии равнобокой трапеции (вертикаль) и спроецируем диагональ $KM$ на основание. Если опустить из $M$ перпендикуляр на прямую $KN\text{,}$ то горизонтальная проекция отрезка $KM$ (катет, прилежащий к углу $\phi$) равна

а вертикальная проекция (противолежащий катет) равна высоте трапеции $h\text{.}$ Поэтому

Так как $\tan \phi =\frac{\sin \phi }{\cos \phi }=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}\text{,}$ получаем

Радиус вписанной окружности. У описанной около окружности трапеции вписанная окружность касается обоих оснований, поэтому её диаметр равен расстоянию между основаниями, то есть высоте: $2r=h\text{.}$ Значит,

Проверка существования и корректности. Из $a+b=48$ и соотношения для боковой стороны $c^2=h^2+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$ находим ${\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2=24^2-18^2=252\text{,}$ то есть $\frac{a-b}{2}=6\sqrt{7}$ и

Оба основания положительны ($b>0\text{,}$ так как $6\sqrt{7}\approx 15,9<24$), значит трапеция действительно существует. Прямой подсчёт в координатах (все четыре вершины помещаются на окружность радиуса $20$) подтверждает: $\cos \angle MKN=\frac{4}{5}\text{,}$ боковые стороны равны $24\text{,}$ сумма оснований равна сумме боковых сторон $48$ (условие касания), высота равна $18\text{,}$ а расстояние от центра вписанной окружности до каждой стороны равно $9\text{.}$ Посторонних решений нет: вторая возможная нумерация вершин даёт ту же высоту $h=18$ и тот же $r=9\text{.}$

Заметим, что попутно получена компактная формула $r=R\frac{{\sin }^2\phi }{\cos \phi }=20\cdot \frac{9/25}{4/5}=9\text{.}$

Ответ: $r=9\text{.}$