Решите уравнение (cos 3x)/(sin 2x)+(sin 3x)/(cos 2x)=(sin 2x)/(cos 3x)+(cos 2x)/(sin 3x).

Задача №17811: Уравнение

Решаем уравнение

\frac{cos 3 x}{sin 2 x} + \frac{sin 3 x}{cos 2 x} = \frac{sin 2 x}{cos 3 x} + \frac{cos 2 x}{sin 3 x} .

ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:

sin 2 x \neq = 0, cos 2 x \neq = 0, cos 3 x \neq = 0, sin 3 x \neq = 0.

Преобразование. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $sin 2 x cos 2 x cos 3 x sin 3 x .$ Числитель равен

N = cos 3 x cos 2 x cos 3 x sin 3 x + sin 3 x sin 2 x cos 3 x sin 3 x - sin 2 x sin 2 x cos 2 x sin 3 x - cos 2 x sin 2 x cos 2 x cos 3 x .

Группируя, получаем компактную факторизацию

N = - (sin 2 x sin 3 x + cos 2 x cos 3 x) (sin 2 x cos 2 x - sin 3 x cos 3 x) .

По формулам:

sin 2 x sin 3 x + cos 2 x cos 3 x = cos (3 x - 2 x) = cos x,

sin 2 x cos 2 x - sin 3 x cos 3 x = \frac{1}{2} sin 4 x - \frac{1}{2} sin 6 x = - \frac{1}{2} (sin 6 x - sin 4 x) = - cos 5 x sin x .

Следовательно

N = - cos x \cdot (- cos 5 x sin x) = sin x cos x cos 5 x = \frac{1}{2} sin 2 x cos 5 x .

(Проверено в sympy: $N$ тождественно равно $cos x sin x cos 5 x .$ )

Итак, в ОДЗ уравнение равносильно

sin x cos x cos 5 x = 0.

Разбор случаев.

$sin x = 0 \Rightarrow x = π n .$ Тогда $sin 2 x = 0$ — нарушение ОДЗ. Отбрасываем.
$cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + π n .$ Тогда $2 x = π + 2 π n,$ $sin 2 x = 0$ — нарушение ОДЗ. Отбрасываем.
$cos 5 x = 0 \Rightarrow 5 x = \frac{π}{2} + π k \Rightarrow x = \frac{π}{10} + \frac{π k}{5} = \frac{π ( 2 k + 1 )}{10}, k \in Z .$

Проверка ОДЗ для серии $cos 5 x = 0 .$ Подстановка показывает, что ОДЗ нарушается тогда и только тогда, когда $5 ∣ (2 k + 1),$ то есть при $k \equiv 2 (mod 5) .$ В этом случае $2 k + 1 \equiv 5 (mod 10),$ значит $x = \frac{π}{2} + π m :$ там одновременно $sin 2 x = 0$ и $cos 3 x = 0$ (обращаются в нуль знаменатели). Эти значения исключаем.

Ответ:

x = \frac{π}{10} + \frac{π k}{5}, k \in Z, k \neq \equiv 2 (mod 5),

равносильно $x = \frac{π ( 2 k + 1 )}{10},$ где $2 k + 1$ не кратно $5$ (исключается серия $x = \frac{π}{2} + π m$ ).

Решаем уравнение

\frac{cos 3 x}{sin 2 x} + \frac{sin 3 x}{cos 2 x} = \frac{sin 2 x}{cos 3 x} + \frac{cos 2 x}{sin 3 x} .

ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:

sin 2 x \neq = 0, cos 2 x \neq = 0, cos 3 x \neq = 0, sin 3 x \neq = 0.

N = cos 3 x cos 2 x cos 3 x sin 3 x + sin 3 x sin 2 x cos 3 x sin 3 x - sin 2 x sin 2 x cos 2 x sin 3 x - cos 2 x sin 2 x cos 2 x cos 3 x .

Группируя, получаем компактную факторизацию

N = - (sin 2 x sin 3 x + cos 2 x cos 3 x) (sin 2 x cos 2 x - sin 3 x cos 3 x) .

По формулам:

sin 2 x sin 3 x + cos 2 x cos 3 x = cos (3 x - 2 x) = cos x,

sin 2 x cos 2 x - sin 3 x cos 3 x = \frac{1}{2} sin 4 x - \frac{1}{2} sin 6 x = - \frac{1}{2} (sin 6 x - sin 4 x) = - cos 5 x sin x .

Следовательно

N = - cos x \cdot (- cos 5 x sin x) = sin x cos x cos 5 x = \frac{1}{2} sin 2 x cos 5 x .

(Проверено в sympy: $N$ тождественно равно $cos x sin x cos 5 x .$ )

Итак, в ОДЗ уравнение равносильно

sin x cos x cos 5 x = 0.

Разбор случаев.

$sin x = 0 \Rightarrow x = π n .$ Тогда $sin 2 x = 0$ — нарушение ОДЗ. Отбрасываем.
$cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + π n .$ Тогда $2 x = π + 2 π n,$ $sin 2 x = 0$ — нарушение ОДЗ. Отбрасываем.
$cos 5 x = 0 \Rightarrow 5 x = \frac{π}{2} + π k \Rightarrow x = \frac{π}{10} + \frac{π k}{5} = \frac{π ( 2 k + 1 )}{10}, k \in Z .$

Ответ:

x = \frac{π}{10} + \frac{π k}{5}, k \in Z, k \neq \equiv 2 (mod 5),

равносильно $x = \frac{π ( 2 k + 1 )}{10},$ где $2 k + 1$ не кратно $5$ (исключается серия $x = \frac{π}{2} + π m$ ).

Задача №17811

Задача #17811

Решай похожие задачи

Информация

Задача №17811

Задача #17811

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17811

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17811

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация