Вычислите _5 27*_9 5.

Задача №17809: Вычисления и преобразования

Требуется вычислить $lo g_{5} 27 \cdot lo g_{9} 5 .$ Все логарифмы определены: основания $5$ и $9$ положительны и отличны от $1,$ аргументы $27$ и $5$ положительны, поэтому никаких ограничений ОДЗ нарушить нельзя, а посторонние корни здесь невозможны (это вычисление значения, а не решение уравнения).

Разложим аргументы и основания на степени простых чисел:

lo g_{5} 27 = lo g_{5} 3^{3} = 3 lo g_{5} 3, lo g_{9} 5 = lo g_{3^{2}} 5 = \frac{1}{2} lo g_{3} 5.

Здесь использованы свойства логарифма $lo g_{b} a^{k} = k lo g_{b} a$ и $lo g_{b^{m}} a = \frac{1}{m} lo g_{b} a$ (для $lo g_{9} 5 :$ $lo g_{3^{2}} 5 = \frac{l n 5}{l n 3 ^{2}} = \frac{l n 5}{2 l n 3} = \frac{1}{2} lo g_{3} 5$ ).

Перемножаем:

lo g_{5} 27 \cdot lo g_{9} 5 = 3 lo g_{5} 3 \cdot \frac{1}{2} lo g_{3} 5 = \frac{3}{2} lo g_{5} 3 \cdot lo g_{3} 5.

По свойству взаимных логарифмов $lo g_{5} 3 \cdot lo g_{3} 5 = \frac{ln 3}{ln 5} \cdot \frac{ln 5}{ln 3} = 1 .$ Следовательно,

lo g_{5} 27 \cdot lo g_{9} 5 = \frac{3}{2} .

Эквивалентно через формулу перехода к натуральному логарифму:

lo g_{5} 27 \cdot lo g_{9} 5 = \frac{ln 27}{ln 5} \cdot \frac{ln 5}{ln 9} = \frac{ln 27}{ln 9} = \frac{3 ln 3}{2 ln 3} = \frac{3}{2} .

Ответ: $\frac{3}{2} .$

Задача №17809

Задача #17809

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17809

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация