Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания равной 1, если известно, что плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.

Задача №17626: Стереометрия

Обозначим через $S$ вершину пирамиды и через $H$ центр основания. Пусть $A B$ — одно из рёбер основания и $M$ — его середина. По условию $∠ A S B = ∠ S A H .$ Обозначим этот угол $φ .$ Тогда

∠ S A M = \frac{π}{2} - ∠ A S M = \frac{π}{2} - \frac{1}{2} ∠ A S B = \frac{π}{2} - \frac{1}{2} φ .

С другой стороны,

cos ∠ S A M = \frac{A M}{A S} = \frac{A M}{A H} \cdot \frac{A H}{A S} = cos ∠ H A M \cdot cos ∠ S A H = \frac{1}{2} cos φ .

Получаем $cos φ = 2 sin \frac{φ}{2},$ т.е.

2 sin^{2} \frac{φ}{2} + 2 sin \frac{φ}{2} - 1 = 0.

Отсюда $sin \frac{φ}{2} = \frac{- 2 + 10}{4}$ (ибо $\frac{- 2 - 10}{4} < - 1$ ), $cos φ = 2 sin \frac{φ}{2} = \frac{5 - 1}{2},$ $sin φ = \frac{5 - 1}{2}$ (берём положительный, ибо $0 < φ < \frac{π}{2}$ ), $tg φ = \frac{2}{5 - 1} = \frac{5 + 1}{2} .$
Стало быть, объём пирамиды равен

\frac{1}{3} A B^{2} S H = \frac{1}{3} A B^{2} A H tg φ = \frac{1}{3 2} A B^{3} tg φ = \frac{1}{3 2} \frac{5 + 1}{2} = \frac{1 + 5}{6} .

Задача №17626

Задача #17626

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17626

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация