Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания равной 1, если известно, что плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.

Обозначим через S вершину пирамиды и через H центр основания. Пусть AB — одно из рёбер основания и M — его середина. По условию ASB = SAH. Обозначим этот угол . Тогда SAM=(pi)/(2)- ASM=(pi)/(2)-(1)/(2) ASB=(pi)/(2)-(1)/(2). С другой стороны, cos SAM=(AM)/(AS)=(AM)/(AH)*(AH)/(AS)=cos HAM*cos SAH=(1)/(sqrt(2))cos. Получаем cos=sqrt(2)sin()/(2), т.е. 2sin^2()/(2)+sqrt(2)sin()/(2)-1=0. Отсюда sin()/(2)=(-sqrt(2)+sqrt(10))/(4) (ибо (-sqrt(2)-sqrt(10))/(4)<-1), cos=sqrt(2)sin()/(2)=(sqrt(5)-1)/(2), sin=sqrt((5-1)/(2)) (берём положительный, ибо 0<<(pi)/(2)), tg=sqrt((2)/(5-1))=sqrt((5+1)/(2)). Стало быть, объём пирамиды равен (1)/(3)AB^2 SH=(1)/(3)AB^2 AHtg=(1)/(3sqrt(2))AB^3tg=(1)/(3sqrt(2))sqrt((5+1)/(2))=(sqrt(1+5))/(6).

\(\frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{6}\)