Задача №17797

Решите уравнение

$$\cos 3x=\cos x+\sqrt{3}\sin x.$$

Преобразуем правую часть. Поскольку $\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\text{,}$ имеем

$$\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)=2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right).$$

Поэтому исходное уравнение равносильно уравнению

$$\cos 3x=2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right).$$

Сделаем замену $u=x-\frac{\pi }{3}$ (тогда $x=u+\frac{\pi }{3}$ и $3x=3u+\pi$). Так как $\cos (3u+\pi )=-\cos 3u\text{,}$ уравнение принимает вид

$$-\cos 3u=2\cos u⟺\cos 3u+2\cos u=0.$$

Применим формулу $\cos 3u=4{\cos }^{3}u-3\cos u\text{:}$

$$4{\cos }^{3}u-3\cos u+2\cos u=4{\cos }^{3}u-\cos u=\cos u(4{\cos }^{2}u-1)=\cos u(2\cos u-1)(2\cos u+1)=0.$$

Уравнение распадается на три независимых случая.

1) $\cos u=0\text{.}$ Тогда $u=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{,}$ откуда

$$x=u+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+\pi k=\frac{5\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

2) $\cos u=\frac{1}{2}\text{.}$ Тогда $u=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\text{,}$ откуда

$$x=\frac{\pi }{3}\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k=\{\begin{array}{l}\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ 2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

3) $\cos u=-\frac{1}{2}\text{.}$ Тогда $u=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k\text{,}$ откуда

$$x=\frac{\pi }{3}\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k=\{\begin{array}{l}\pi +2\pi k,\\ -\frac{\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Объединим серии. Серии $x=2\pi k$ (из случая 2) и $x=\pi +2\pi k$ (из случая 3) вместе дают все кратные $\pi \text{,}$ то есть $x=\pi k\text{.}$ Серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ (случай 2) и $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k=\frac{5\pi }{3}+2\pi k=\frac{2\pi }{3}+\pi +2\pi k$ (случай 3) объединяются в $x=\frac{2\pi }{3}+\pi k\text{.}$ Наконец, случай 1 уже записан как $x=\frac{5\pi }{6}+\pi k\text{.}$

Все преобразования были равносильными (переход к $2\cos (x-\pi /3)$ — тождество, замена $u=x-\pi /3$ обратима, разложение на множители равносильно исходному уравнению), поэтому посторонних корней не возникает и ни один корень не теряется.

$$\boxed{x=\pi k,x=\frac{2\pi }{3}+\pi k,x=\frac{5\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.}$$