Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны −75 и 49, а свободный член равен −5.
Многочлен второй степени с корнями x1 и x2 имеет вид
P(x)=a(x−x1)(x−x2),a=0,где a — старший коэффициент. По условию корни равны
x1=−75,x2=49,поэтому
P(x)=a(x+75)(x−49).Свободный член многочлена — это его значение в нуле:
P(0)=a(0+75)(0−49)=a⋅75⋅(−49)=−2845a.По условию свободный член равен −5, значит
−2845a=−5⟺a=455⋅28=45140=928.Коэффициент a=928=0, так что многочлен действительно второй степени.
Подставляя найденное a и раскрывая скобки, получаем
P(x)=928(x+75)(x−49)=928(x2−49x+75x−2845).Сумма коэффициентов при x внутри скобок равна
−49+75=−2863+2820=−2843,поэтому
P(x)=928(x2−2843x−2845)=928x2−943x−5.Проверка. Свободный член равен −5 — выполнено. Подставим корни:
P(−75)=928(−75+75)(−75−49)=0,P(49)=928(49+75)(49−49)=0,оба корня дают нуль. Удобная запись с целыми коэффициентами:
P(x)=91(28x2−43x−45)=91(7x+5)(4x−9).Замечание. Многочлен восстановлен однозначно: условие на свободный член фиксирует множитель a (любой другой старший коэффициент изменил бы свободный член). Если же не требовать конкретного значения свободного члена, многочлен с данными корнями определён лишь с точностью до ненулевого множителя a.
P(x)=928x2−943x−5=91(28x2−43x−45).Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ДВИ МГУ