Задача №17570

Объём треугольной призмы $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ с основанием $ABC$ и боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }$ равен 72. Найдите объём тетраэдра $DEFG\text{,}$ где $D$ — центр грани $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\text{,}$ $E$ — точка пересечения медиан треугольника $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\text{,}$ $F$ — середина ребра $AC$ и $G$ — середина ребра $BC\text{.}$

Обозначим через $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M$ середины отрезков $FG\text{,}$ $AB\text{,}$ $A^{\prime }{B}^{\prime }$ соответственно. Заметим, что точки $C\text{,}$ $C^{\prime }\text{,}$ $E\text{,}$ $D\text{,}$ $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M$ лежат в одной плоскости. Отметим на $CL$ точки $P$ и $Q$ таким образом, что $EP\parallel ML$ и $DQ\parallel EK\text{.}$ Тогда треугольники $DLQ$ и $EPK$ подобны. Поскольку $DL=\frac{1}{2}ML=\frac{1}{2}EP\text{,}$ из подобия получаем $LQ=\frac{1}{2}PK\text{.}$ Поскольку же $LK=\frac{1}{2}LC$ и $LP=ME=\frac{1}{3}M{C}^{\prime }=\frac{1}{3}LC\text{,}$ получаем $PK=LK-LP=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)LC=\frac{1}{6}LC$ и $LQ=\frac{1}{2}PK=\frac{1}{12}LC=\frac{1}{6}LK\text{.}$ Стало быть, $QK=LK-LQ=\frac{5}{6}LK\text{.}$ Таким образом,

Заметим, что, поскольку $DQ\parallel EK\text{,}$ объёмы тетраэдров $DEFG$ и $QEFG$ равны. Заметим также, что объём тетраэдра $QEFG$ равен трети произведения $S(△FGQ)$ на высоту призмы, а объём призмы равен произведению $S(△ABC)$ на эту же высоту. Получаем, что объём тетраэдра $DEFG$ относится к объёму призмы как

Стало быть, искомый объём равен 5.