Объём треугольной призмы ABCA'B'C' с основанием ABC и боковыми рёбрами AA' , BB' , CC' равен 72. Найдите объём тетраэдра DEFG , где D — центр грани ABB'A' , E — точка пересечения медиан треугольника A'B'C' , F — середина ребра AC и G — середина ребра BC .

Обозначим через K , L , M середины отрезков FG , AB , A'B' соответственно. Заметим, что точки C , C' , E , D , K , L , M лежат в одной плоскости. Отметим на CL точки P и Q таким образом, что EP ML и DQ EK . Тогда треугольники DLQ и EPK подобны. Поскольку DL = (1)/(2) ML = (1)/(2) EP , из подобия получаем LQ = (1)/(2) PK . Поскольку же LK = (1)/(2) LC и LP = ME = (1)/(3) MC' = (1)/(3) LC , получаем PK = LK - LP = ( (1)/(2) - (1)/(3) ) LC = (1)/(6) LC и LQ = (1)/(2) PK = (1)/(12) LC = (1)/(6) LK . Стало быть, QK = LK - LQ = (5)/(6) LK . Таким образом, S( FGQ) = (5)/(6) S( FGL) = (5)/(6) * (1)/(4) S( ABC) = (5)/(24) S( ABC). Заметим, что, поскольку DQ EK , объёмы тетраэдров DEFG и QEFG равны. Заметим также, что объём тетраэдра QEFG равен трети произведения S( FGQ) на высоту призмы, а объём призмы равен произведению S( ABC) на эту же высоту. Получаем, что объём тетраэдра DEFG относится к объёму призмы как (13 S( FGQ))/(S( ABC)) = (1)/(3) * (5)/(24) = (5)/(72). Стало быть, искомый объём равен 5.

5