Задача №17785

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AC=BC=5$ и $AB=6\text{,}$ боковые рёбра $AS,BS,CS$ пирамиды равны соответственно $7\text{,}$ $7$ и $4\text{.}$ Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости $ABC$ и касается прямых $AC$ и $BC\text{.}$ Найдите высоту цилиндра.

Обозначим через $D$ середину стороны $AB\text{.}$ Сделаем подготовительные вычисления в треугольниках, содержащих $D\text{.}$

1) Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC=5\text{,}$ $AB=6$), поэтому медиана $CD$ одновременно высота: $CD=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=\sqrt{25-9}=4\text{.}$ Для угла $\alpha =\angle ACD=\angle DCB$ имеем $\sin \alpha =\frac{3}{5}\text{,}$ $\cos \alpha =\frac{4}{5}\text{.}$ Радиус вписанной в $ABC$ окружности равен $r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4}{\frac{1}{2}(6+5+5)}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\text{.}$

2) Треугольник $ABS$ тоже равнобедренный ($AS=BS=7$), поэтому $SD$ — высота: $SD=\sqrt{A{S}^2-A{D}^2}=\sqrt{49-9}=2\sqrt{10}\text{.}$

3) В треугольнике $DSC$ известны все стороны: $SC=4\text{,}$ $DC=4\text{,}$ $DS=2\sqrt{10}\text{.}$ Он равнобедренный ($SC=DC=4$); для угла $\phi =\angle SDC=\angle DSC$ при основании $DS$ имеем $\cos \phi =\frac{DS/2}{DC}=\frac{\sqrt{10}}{4}\text{,}$ откуда $\sin \phi =\sqrt{1-\frac{10}{16}}=\frac{\sqrt{6}}{4}\text{.}$

4) Так как $AB\perp DC$ и $AB\perp DS\text{,}$ прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $DSC\text{;}$ значит, и плоскость основания $ABC$ (проходящая через $AB$) перпендикулярна плоскости $DSC\text{.}$ Опустим высоту пирамиды $SH$ на плоскость $ABC\text{:}$ её основание $H$ лежит на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $DC\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $DSH$ находим высоту пирамиды $SH=DS\sin \phi =2\sqrt{10}\cdot \frac{\sqrt{6}}{4}=\sqrt{15}\text{,}$ а из треугольника $CSH\text{:}$ $CH=\sqrt{S{C}^2-S{H}^2}=\sqrt{16-15}=1\text{.}$

Теперь перейдём к цилиндру. Пусть $\pi$ — плоскость его верхнего основания, а $A_1,B_1,C_1$ — точки пересечения $\pi$ с рёбрами $SA,SB,SC\text{.}$ Так как верхнее основание имеет с каждой боковой гранью ровно одну общую точку, окружность верхнего основания вписана в треугольник $A_1{B}_1{C}_1\text{,}$ и плоскость $\pi$ параллельна основанию $ABC\text{.}$ Пусть $k<1$ — коэффициент подобия треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ относительно $ABC\text{.}$ Тогда стороны и характерные отрезки уменьшаются в $k$ раз: радиус верхнего основания $r_1=kr=\frac{3k}{2}\text{,}$ а высота сечения над основанием равна $SH\cdot (1-k)\text{?}$ Уточним геометрию через подобие в плоскости $DSC\text{:}$ обозначив $H_1$ — основание перпендикуляра из $S$ на $\pi \text{,}$ получим $S{H}_1=\sqrt{15}k\text{,}$ а расстояние между плоскостями (искомая высота цилиндра) равно $H{H}_1=\sqrt{15}(1-k)\text{.}$

Остаётся найти $k\text{.}$ Спроектируем точки $A_1,B_1,C_1$ ортогонально на плоскость $ABC\text{;}$ получим треугольник $A_2{B}_2{C}_2\text{,}$ равный $A_1{B}_1{C}_1$ и со сторонами, параллельными сторонам $ABC\text{.}$ При этом проекция точки $C_1$ попадает на прямую $CD\text{:}$ из подобия $C{C}_2=(1-k)\cdot CH=1-k$ (в долях, отнесённых к $CH=1$). Проекция окружности верхнего основания — это окружность, вписанная в $A_2{B}_2{C}_2\text{;}$ по условию окружность нижнего основания цилиндра тоже вписана в $A_2{B}_2{C}_2$ и должна касаться прямых $AC$ и $BC\text{.}$ Это возможно лишь когда вершина $C_2$ выходит за прямую $AB$-сторону, и образуется ромб $CL{C}_{2}K$ (где $K,L$ — точки пересечения прямых $AC,BC$ со сторонами треугольника $A_2{B}_2{C}_2$), в который вписана эта окружность.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $R{C}_{2}O\text{,}$ где $O$ — центр окружности, $R$ — точка касания со стороной $A_2{C}_2\text{.}$ Его катет $OR=r_1=\frac{3k}{2}\text{,}$ гипотенуза $O{C}_2=\frac{C{C}_2}{2}=\frac{1-k}{2}\text{,}$ поэтому синус угла $R{C}_{2}O$ равен $\frac{OR}{O{C}_2}=\frac{3k}{1-k}\text{.}$ С другой стороны, этот угол равен $\alpha \text{,}$ для которого $\sin \alpha =\frac{3}{5}\text{.}$ Значит,

Подставляя найденное значение в формулу для высоты цилиндра, получаем