В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник ABC со сторонами AC=BC=5 и AB=6, боковые рёбра AS,BS,CS пирамиды равны соответственно 7, 7 и 4. Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости ABC и касается прямых AC и BC. Найдите высоту цилиндра.

Обозначим через D середину стороны AB. Сделаем подготовительные вычисления в треугольниках, содержащих D. 1) Треугольник ABC равнобедренный (AC=BC=5, AB=6), поэтому медиана CD одновременно высота: CD=sqrt(AC^2-AD^2)=sqrt(25-9)=4. Для угла alpha= ACD= DCB имеем =(3)/(5), =(4)/(5). Радиус вписанной в ABC окружности равен r=(S_(ABC))/(p)=(12*6*4)/(12(6+5+5))=(12)/(8)=(3)/(2). 2) Треугольник ABS тоже равнобедренный (AS=BS=7), поэтому SD — высота: SD=sqrt(AS^2-AD^2)=sqrt(49-9)=2sqrt(10). 3) В треугольнике DSC известны все стороны: SC=4, DC=4, DS=2sqrt(10). Он равнобедренный (SC=DC=4); для угла = SDC= DSC при основании DS имеем cos=(DS/2)/(DC)=(sqrt(10))/(4), откуда sin=sqrt(1-(10)/(16))=(sqrt(6))/(4). 4) Так как AB DC и AB DS, прямая AB перпендикулярна плоскости DSC; значит, и плоскость основания ABC (проходящая через AB) перпендикулярна плоскости DSC. Опустим высоту пирамиды SH на плоскость ABC: её основание H лежит на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой DC. Из прямоугольного треугольника DSH находим высоту пирамиды SH=DSsin=2sqrt(10)*(6)/(4)=sqrt(15), а из треугольника CSH: CH=sqrt(SC^2-SH^2)=sqrt(16-15)=1. Теперь перейдём к цилиндру. Пусть pi — плоскость его верхнего основания, а A_1,B_1,C_1 — точки пересечения pi с рёбрами SA,SB,SC. Так как верхнее основание имеет с каждой боковой гранью ровно одну общую точку, окружность верхнего основания вписана в треугольник A_1B_1C_1, и плоскость pi параллельна основанию ABC. Пусть k<1 — коэффициент подобия треугольника A_1B_1C_1 относительно ABC. Тогда стороны и характерные отрезки уменьшаются в k раз: радиус верхнего основания r_1=kr=(3k)/(2), а высота сечения над основанием равна SH*(1-k)? Уточним геометрию через подобие в плоскости DSC: обозначив H_1 — основание перпендикуляра из S на pi, получим SH_1=sqrt(15)k, а расстояние между плоскостями (искомая высота цилиндра) равно HH_1=sqrt(15)(1-k). Остаётся найти k. Спроектируем точки A_1,B_1,C_1 ортогонально на плоскость ABC; получим треугольник A_2B_2C_2, равный A_1B_1C_1 и со сторонами, параллельными сторонам ABC. При этом проекция точки C_1 попадает на прямую CD: из подобия CC_2=(1-k)* CH=1-k (в долях, отнесённых к CH=1). Проекция окружности верхнего основания — это окружность, вписанная в A_2B_2C_2; по условию окружность нижнего основания цилиндра тоже вписана в A_2B_2C_2 и должна касаться прямых AC и BC. Это возможно лишь когда вершина C_2 выходит за прямую AB-сторону, и образуется ромб CLC_2K (где K,L — точки пересечения прямых AC,BC со сторонами треугольника A_2B_2C_2), в который вписана эта окружность. Рассмотрим прямоугольный треугольник RC_2O, где O — центр окружности, R — точка касания со стороной A_2C_2. Его катет OR=r_1=(3k)/(2), гипотенуза OC_2=(CC_2)/(2)=(1-k)/(2), поэтому синус угла RC_2O равен (OR)/(OC_2)=(3k)/(1-k). С другой стороны, этот угол равен alpha, для которого =(3)/(5). Значит, (3k)/(1-k)=(3)/(5) 5k=1-k k=(1)/(6). Подставляя найденное значение в формулу для высоты цилиндра, получаем HH_1=sqrt(15)(1-k)=sqrt(15)*(5)/(6)=(5sqrt(15))/(6).

\dfrac{5\sqrt{15}}{6}