Параболы — ОГЭ

Параболы (Задание 11)

В конспекте типа мы учились узнавать график в лицо: прямая, парабола, гипербола. Здесь ты копнёшь глубже в один вид — параболу. В задании 11 про параболы есть свой отдельный сюжет: тебе не дают формулу целиком, а просят прочитать знаки коэффициентов $a,$ $b,$ $c$ прямо по картинке. То есть глядя на чашку или купол на координатной плоскости, ты должен сказать, положительный старший коэффициент или отрицательный, где парабола пересекает ось $O y$ и куда смещена вершина.

Это не сложнее узнавания формы, но требует аккуратности: каждый коэффициент «отвечает» за свою черту графика, и надо знать, за какую именно. Разберём все три коэффициента по очереди, а потом соберём алгоритм.

За что отвечает каждый коэффициент

Общий вид квадратичной функции — $y = a x^{2} + b x + c .$ Три буквы — три независимых признака на графике.

ВАЖНОЕ

Старший коэффициент

a

— форма и направление ветвей

y = a x^{2} + b x + c

Знак $a$ задаёт, куда смотрят ветви, а величина $∣ a ∣$ — насколько парабола узкая:

$a > 0$ — ветви вверх (чашка);
$a < 0$ — ветви вниз (купол);
чем больше $∣ a ∣,$ тем уже парабола.

Парабола ветвями вверх при a>0 и ветвями вниз при a<0

ВАЖНОЕ

Свободный член

c

— где парабола пересекает ось

O y

y (0) = c

Подставь в формулу $x = 0 :$ все слагаемые с $x$ обнуляются, остаётся $y = c .$ Значит $c$ — это ордината точки пересечения графика с осью $O y$ :

$c > 0$ — парабола пересекает ось $O y$ выше начала координат;
$c < 0$ — ниже начала координат;
$c = 0$ — проходит через начало координат.

Три параболы, пересекающие ось Oy выше, в нуле и ниже начала координат

ВАЖНОЕ

Коэффициент

b

— на какую сторону смещена вершина

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

Отдельно знак $b$ по графику «в лоб» не виден — он читается через положение вершины вместе со знаком $a .$ Абсцисса вершины $x_{0} = - \frac{b}{2 a},$ отсюда:

если знаки $a$ и $b$ разные, то $x_{0} > 0$ — вершина правее оси $O y;$
если знаки $a$ и $b$ одинаковые, то $x_{0} < 0$ — вершина левее оси $O y;$
$b = 0$ — вершина точно на оси $O y$ (парабола симметрична относительно $O y$ ).

Смещение вершины параболы влево и вправо от оси Oy

Как читать знаки коэффициентов

АЛГОРИТМ

Алгоритм: знаки

a,

b,

c

по параболе

1. Куда смотрят ветви — это знак $a .$ Вверх (чашка) — $a > 0;$ вниз (купол) — $a < 0 .$ Ничего больше для $a$ смотреть не нужно.
2. Где график пересекает ось $O y$ — это знак $c .$ Точка пересечения выше начала координат — $c > 0;$ ниже — $c < 0 .$ Смотри именно на пересечение с вертикальной осью, а не на корни.
3. Если нужен знак $b$ — посмотри, куда смещена вершина. Вершина левее оси $O y :$ $x_{0} < 0,$ тогда $b$ и $a$ одного знака. Вершина правее: $x_{0} > 0,$ тогда $b$ и $a$ разных знаков.
4. Сначала прочти, в какую сторону идёт соответствие. В одних задачах слева графики, справа наборы знаков; в других — наоборот. Ставь номер того столбца, который просят.
5. Запиши ответ строкой цифр в порядке букв А, Б, В — без пробелов и запятых.

✓СОВЕТ

Быстрый чек по одной точке

Всё задание про параболы держится на двух точках: вершина (её направление даёт $a,$ а сторона — знак $b$ ) и точка пересечения с осью $O y$ (её высота даёт знак $c$ ). Найди эти две вещи на каждом графике — и знаки готовы.

Типичные ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знак

c

— это пересечение с

O y,

а не корни

Ошибка: судить о знаке $c$ по тому, где парабола пересекает ось $O x$ (по корням).
Правильно: $c = y (0)$ — это высота точки пересечения с осью $O y$ (вертикальной). Парабола может иметь оба положительных корня, но пересекать $O y$ и выше, и ниже нуля — смотри именно на вертикальную ось.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Направление ветвей — только по знаку

a

Куда смотрят ветви, задаёт только знак старшего коэффициента $a .$ $a > 0$ — всегда вверх, $a < 0$ — всегда вниз, где бы ни стояла вершина и через какие бы точки график ни проходил.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Читай, в каком столбце графики

Половина задач идёт «графики -> наборы знаков», половина — «наборы знаков -> графики». Ответ — это всегда номера из правого столбца в порядке букв левого. Перепутал направление — потерял весь балл: задание оценивается целиком, частичных баллов нет.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

Ответ к заданию 11 — три цифры подряд в порядке букв А, Б, В (например, 312), без пробелов, запятых и других знаков. Одна переставленная цифра — ноль за всё задание.

Разбор задач

Три примера: соответствие «графики -> знаки», обратное «знаки -> графики» (где легко перепутать порядок) и снова «графики -> знаки» с параболой целиком над осью.

ПРИМЕР 1

Графики -> знаки коэффициентов

На рисунках изображены графики функций вида $y = a x^{2} + b x + c .$ Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c .$

ГРАФИКИ

Три параболы: А ветвями вверх с пересечением Oy ниже нуля, Б ветвями вниз с пересечением Oy выше нуля, В ветвями вверх целиком над Ox

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) $a < 0,$ $c > 0$ 2) $a > 0,$ $c > 0$ 3) $a > 0,$ $c < 0$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

ПРИМЕР 2

Знаки -> графики: следи за порядком

На рисунках изображены графики функций вида $y = a x^{2} + b x + c .$ Установите соответствие между знаками коэффициентов $a$ и $c$ и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ
А)	$a > 0,$ $c < 0$	Б)	$a > 0,$ $c > 0$	В)	$a < 0,$ $c > 0$

ГРАФИКИ

Три параболы под номерами: 1 ветвями вниз над Oy, 2 ветвями вверх пересекает Oy выше нуля, 3 ветвями вверх пересекает Oy ниже нуля

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

ПРИМЕР 3

Графики -> знаки, парабола над осью

ГРАФИКИ

Три параболы: А ветвями вверх с вершиной ниже Ox, Б ветвями вниз с вершиной выше Ox, В ветвями вверх с двумя положительными корнями

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) $a > 0,$ $c > 0$ 2) $a > 0,$ $c < 0$ 3) $a < 0,$ $c > 0$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Что запомнить

Ветви — знак $a .$ Вверх — $a > 0,$ вниз — $a < 0 .$ Величина $∣ a ∣$ — ширина параболы.
Пересечение с осью $O y$ — знак $c .$ Выше нуля — $c > 0,$ ниже — $c < 0 .$ Это $y (0),$ а не корни.
Сторона вершины — знак $b$ (через $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ ). Вершина левее $O y$ — $b$ и $a$ одного знака, правее — разных.
Читай направление соответствия (графики -> знаки или знаки -> графики) и пиши три цифры в порядке А, Б, В без пробелов.

Отработка

Закрепи навык на задачах банка: все задачи типа 11.

Подборка ровно по этой под-теме: Параболы.