Задание 11: Графики функций — ОГЭ

Графики функций (Задание 11)

В задании 11 тебе дают несколько формул и несколько картинок с графиками, а ты должен расставить их в пары: какая формула какому графику отвечает. Это одно из самых «дешёвых» заданий первой части: думать почти не нужно, нужно узнавать графики в лицо. Если ты помнишь, как выглядит прямая, парабола и гипербола, и умеешь читать пару-тройку коэффициентов, балл у тебя в кармане за минуту.

Хитрость в том, что на картинках обычно нарисованы три графика одного семейства (например, три прямые) или, наоборот, три разных зверя (прямая, парабола, гипербола). В первом случае ты различаешь их по коэффициентам, во втором — сразу по форме. Разберём оба сценария.

В этом конспекте мы соберём всё, что нужно для задания 11, по под-темам: линейные функции, параболы, гиперболы, соответствие «функция — график» и растяжения и сдвиги (как коэффициент меняет вид графика).

Три семейства графиков: прямая, парабола, гипербола

Три главных вида графиков

Почти все функции задания 11 — из трёх семейств. Научись узнавать их с одного взгляда.

ВАЖНОЕ

Линейная функция

y = k x + b

График — прямая. Коэффициент $k$ (угловой) задаёт наклон, $b$ — точку пересечения с осью $O y$ (при $x = 0$ получаем $y = b$ ).

$k > 0$ — прямая возрастает (идёт вверх слева направо);
$k < 0$ — прямая убывает (идёт вниз);
чем больше $∣ k ∣,$ тем круче прямая.

ВАЖНОЕ

Квадратичная функция (парабола)

y = a x^{2} + b x + c

График — парабола. Старший коэффициент $a$ решает всё про форму:

$a > 0$ — ветви вверх (чашка);
$a < 0$ — ветви вниз (купол);
чем больше $∣ a ∣,$ тем уже парабола.

Абсцисса вершины: $x_{0} = - \frac{b}{2 a};$ ординату находим, подставив $x_{0}$ в формулу.

Парабола ветвями вверх с отмеченной вершиной

ВАЖНОЕ

Обратная пропорциональность (гипербола)

y = \frac{k}{x}

График — гипербола: две отдельные ветви, оси координат служат асимптотами (график к ним прижимается, но не касается).

$k > 0$ — ветви в I и III четвертях (верхняя-правая и нижняя-левая);
$k < 0$ — ветви во II и IV четвертях (верхняя-левая и нижняя-правая).

iЗАМЕЧАНИЕ

Растяжения и сдвиги — откуда берётся «крутизна»

Коэффициент — это ручка, которая растягивает или сжимает график:

у прямой $y = k x$ увеличение $∣ k ∣$ поворачивает её круче к оси $O y;$
у параболы $y = a x^{2}$ увеличение $∣ a ∣$ сжимает её к оси симметрии (она становится «уже»);
свободный член сдвигает график: $+ b$ в линейной поднимает прямую, а $+ b x + c$ в квадратичной сдвигает вершину параболы в сторону от начала координат.

Поэтому три графика одного семейства всегда различаются либо знаком коэффициента, либо его величиной.

Как читать коэффициенты по графику

АЛГОРИТМ

Алгоритм задания 11

1. Определи семейство по форме. Прямая линия — линейная $y = k x + b .$ Парабола — квадратичная $y = a x^{2} + b x + c .$ Две ветви у осей — гипербола $y = \frac{k}{x} .$ Часто этого шага уже хватает, чтобы всё расставить.
2. Внутри одного семейства смотри на знак коэффициента. Прямая/парабола вверх-возрастает — коэффициент $> 0;$ вниз-убывает — $< 0 .$ Гипербола в I и III четвертях — $k > 0,$ во II и IV — $k < 0 .$
3. Если знаки совпали — различай по величине или сдвигу. Две возрастающие прямые различаем по $b$ (где пересекают ось $O y :$ выше или ниже нуля). Две прямые одного знака — по крутизне ( $∣ k ∣$ больше — круче).
4. Проверь одной контрольной точкой. Подставь удобный $x$ (например, $x = 0$ или $x = 1$ ) в формулу и сверь с картинкой. Совпало — пара верная.
5. Запиши ответ строкой цифр в порядке букв А, Б, В — без пробелов и запятых.

✓СОВЕТ

Быстрый чек через

x = 0

Значение при $x = 0$ — это точка на оси $O y .$ У прямой $y = k x + b$ это $b,$ у параболы $y = a x^{2} + b x + c$ это $c .$ Гипербола при $x = 0$ не определена (оси не пересекает) — по этому признаку её ни с чем не спутаешь.

Типичные ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ветви параболы: вверх или вниз — только по знаку

a

Ошибка: решать про направление ветвей «на глаз» по тому, где нарисована вершина.
Правильно: направление ветвей задаёт только знак старшего коэффициента $a .$ $a > 0$ — всегда ветви вверх, $a < 0$ — всегда вниз, где бы ни стояла вершина.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Две возрастающие прямые не различить по наклону

Если в задании две прямые с одинаковым знаком $k$ (обе возрастают или обе убывают), различать их надо по свободному члену $b$ — по тому, выше или ниже начала координат прямая пересекает ось $O y .$ Смотреть только на наклон бесполезно.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

Ответ к заданию 11 — это три цифры подряд в порядке букв А, Б, В (например, 132), без пробелов, запятых и знаков. Не переставляй местами: сначала номер графика для А, потом для Б, потом для В. Одна перепутанная цифра — весь балл потерян, задание оценивается целиком.

Разбор задач

Три примера ниже покрывают все сценарии: чистое семейство прямых, смесь из трёх разных графиков и различение прямых по свободному члену.

ПРИМЕР 1

Три прямые: различаем по наклону

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ
А)	$y = - 3 x$	Б)	$y = - \frac{1}{3} x$	В)	$y = \frac{1}{3} x$

ГРАФИКИ

Три прямые через начало координат: крутая убывающая, пологая возрастающая, пологая убывающая

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

ПРИМЕР 2

Смесь: прямая, парабола, гипербола

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ
А)	$y = \frac{1}{x}$	Б)	$y = x + 1$	В)	$y = 2 x^{2} + 14 x + 24$

ГРАФИКИ

Гипербола в I и III четвертях, парабола ветвями вверх с вершиной слева, прямая с положительным наклоном

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

ПРИМЕР 3

Прямые с разным сдвигом

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ
А)	$y = - \frac{1}{2} x - 2$	Б)	$y = \frac{1}{2} x + 2$	В)	$y = \frac{1}{2} x - 2$

ГРАФИКИ

Три прямые: убывающая, возрастающая с пересечением Oy выше нуля, возрастающая с пересечением Oy ниже нуля

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Что запомнить

Форма — первым делом. Прямая — линейная, парабола — квадратичная, две ветви у осей — гипербола. Часто задача решается на этом шаге.
Знак коэффициента — направление. $k > 0$ / $a > 0$ — вверх; $k < 0$ / $a < 0$ — вниз. У гиперболы $k > 0$ — I и III четверти.
Совпали знаки — смотри на $b$ и на крутизну. Свободный член показывает, где график пересекает ось $O y;$ величина коэффициента — насколько график крутой/узкий.
Ответ — три цифры в порядке А, Б, В, без пробелов.

Отработка

Закрепи навык на задачах банка: все задачи типа 11.

Подборки по под-темам: