Задача №20910

Основания трапеции равны 2 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Пусть в трапеции $ABCD$ основания $BC=2$ и $AD=9\text{,}$ а $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD\text{.}$ Тогда $MN$ — средняя линия. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию в точке $P\text{.}$

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AB\text{,}$ а прямая $MP$ параллельна основанию $BC$ (средняя линия трапеции параллельна основаниям). Значит, $MP$ — средняя линия треугольника $ABC\text{,}$ поэтому

$$MP=\frac{BC}{2}=\frac{2}{2}=1.$$

В треугольнике $ACD$ точка $P$ — середина $AC\text{,}$ а $N$ — середина $CD\text{,}$ поэтому $PN$ — средняя линия и

$$PN=\frac{AD}{2}=\frac{9}{2}=4,5.$$

Средняя линия делится диагональю на отрезки $1$ и $4,5\text{.}$ Больший из них равен $4,5\text{.}$

Проверка: $1+4,5=5,5=\frac{2+9}{2}$ — длина средней линии трапеции.

Ответ: $4,5\text{.}$