Задача №20892

Основания трапеции равны 8 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC=8$ и $AD=17\text{,}$ а $MN$ — её средняя линия: $M$ — середина боковой стороны $AB\text{,}$ $N$ — середина боковой стороны $CD\text{.}$ Проведём диагональ $AC$ и обозначим через $P$ точку её пересечения со средней линией.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям, поэтому в треугольнике $ABC$ прямая $MP$ проходит через середину $M$ стороны $AB$ параллельно стороне $BC\text{.}$ По теореме Фалеса она делит сторону $AC$ пополам, то есть $P$ — середина $AC\text{,}$ а $MP$ — средняя линия треугольника $ABC\text{:}$

$$MP=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Точка $P$ — середина $AC\text{,}$ точка $N$ — середина $CD\text{,}$ значит $PN$ — средняя линия треугольника $ACD\text{:}$

$$PN=\frac{AD}{2}=\frac{17}{2}=8,5.$$

Проверка: сумма найденных отрезков должна равняться всей средней линии трапеции. Действительно,

$$MP+PN=4+8,5=12,5,MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{8+17}{2}=12,5.$$

Значения совпали, поэтому вычисления верны. Больший из двух отрезков — тот, что примыкает к большему основанию, он равен $8,5\text{.}$

Ответ: $8,5\text{.}$