Задача №20903

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC\text{,}$ сторона $AB$ равна 28, сторона $BC$ равна 19, сторона $AC$ равна 34. Найдите $MN\text{.}$

Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC\text{,}$ поэтому отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC\text{.}$

По теореме о средней линии треугольника средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине:

$$MN=\frac{AC}{2}=\frac{34}{2}=17.$$

Длины $AB=28$ и $BC=19$ в вычислении не участвуют — это лишние данные.

Проверка (через подобие). В треугольниках $MBN$ и $ABC$ угол $B$ общий, а

$$\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2},$$

значит треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними с коэффициентом $k=\frac{1}{2}\text{.}$ Отсюда

$$MN=k\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 34=17,$$

что совпадает с полученным ранее результатом.

Ответ: 17.