Задача №20877

Один из углов прямоугольной трапеции равен $113^{\circ }\text{.}$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Значит, два её угла (при этой боковой стороне) прямые: они равны $90^{\circ }\text{.}$

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC\parallel AD\text{,}$ причём $\angle A=\angle B=90^{\circ }\text{.}$ Данный угол $113^{\circ }$ прямым не является, поэтому это один из двух оставшихся углов — при наклонной боковой стороне $CD\text{.}$

Основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $CD$ — секущая, поэтому углы $\angle C$ и $\angle D$ — внутренние односторонние, и их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle C+\angle D=180^{\circ }.$$

Если один из них равен $113^{\circ }\text{,}$ то второй равен

$$180^{\circ }-113^{\circ }=67^{\circ }.$$

Итак, углы трапеции равны $90^{\circ },90^{\circ },113^{\circ },67^{\circ }\text{.}$ Наименьший из них — $67^{\circ }$ (он меньше $90^{\circ }\text{,}$ так как $67<90$).

Проверка через сумму углов четырёхугольника. Сумма углов любого четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{.}$ Проверим найденный набор:

$$90^{\circ }+90^{\circ }+113^{\circ }+67^{\circ }=360^{\circ }.$$

Сумма сошлась, значит набор углов определён верно, и меньший угол трапеции равен $67^{\circ }\text{.}$

Ответ: 67.