Задача №20158

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM\text{.}$ Найдите градусную меру угла $A\text{,}$ если $\angle C=61^{\circ }$ и $BM=AM=MC\text{.}$

Медиана $BM$ проведена к стороне $AC\text{,}$ поэтому $M$ — середина $AC$ и $AM=MC\text{.}$

По условию $BM=AM=MC\text{.}$ Значит, точка $M$ равноудалена от вершин $A\text{,}$ $B$ и $C\text{,}$ то есть $MA=MB=MC\text{.}$ Тогда все три вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $MA=\frac{1}{2}AC\text{,}$ а сторона $AC$ является её диаметром.

Вписанный угол $B\text{,}$ опирающийся на диаметр $AC\text{,}$ прямой:

$$\angle B=90^{\circ }.$$

(Это частный случай признака: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный с прямым углом при противолежащей вершине.)

По теореме о сумме углов треугольника:

$$\angle A=180^{\circ }-\angle B-\angle C=180^{\circ }-90^{\circ }-61^{\circ }=29^{\circ }.$$

Ответ: $29\text{.}$