Задача №20005

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

На чертеже изображена ломаная из двух отрезков (в форме буквы «V») с общей нижней вершиной. По узлам сетки её концы и вершина находятся в точках $P(1;4)\text{,}$ $Q(4;4)$ (верхние концы) и $C(2;1)$ (нижняя вершина).

Точки $P$ и $Q$ лежат на одной горизонтали (обе на высоте $4$), поэтому отрезок $PQ$ горизонтален и его длина равна $PQ=4-1=3$ клетки.

Точки $A$ и $B$ лежат на сторонах $CP$ и $CQ$ на одной горизонтали, отстоящей от вершины $C$ на $1$ клетку вверх (высота $2$). Верхние концы $P$ и $Q$ отстоят от $C$ на $3$ клетки вверх (высота $4$). Значит,

$$\frac{CA}{CP}=\frac{CB}{CQ}=\frac{1}{3}.$$

Точки $A$ и $B$ делят стороны угла с вершиной $C$ в одном и том же отношении, считая от вершины, поэтому $AB\parallel PQ$ и по свойству пропорциональных отрезков (подобие)

$$AB=PQ\cdot \frac{1}{3}=3\cdot \frac{1}{3}=1.$$

Ответ: $1\text{.}$