Задача №19807

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC\text{,}$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN\text{,}$ если $MN=13\text{,}$ $AC=65\text{,}$ $NC=28\text{.}$

Прямая $MN\parallel AC\text{,}$ поэтому треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: угол $B$ общий, а углы $BMN$ и $BAC$ равны как соответственные при $MN\parallel AC$ и секущей $AB$).

Из подобия отношение сходственных сторон одно и то же:

Коэффициент подобия:

Обозначим $BN=x\text{.}$ Тогда $BC=BN+NC=x+28\text{,}$ и

Отсюда $5x=x+28\text{,}$ значит $4x=28$ и $x=7\text{.}$

Проверка: $BN=7\text{,}$ $BC=7+28=35\text{,}$ отношение $\frac{BN}{BC}=\frac{7}{35}=\frac{1}{5}=\frac{MN}{AC}$ — совпадает.

Ответ: $BN=7\text{.}$