Задача №19784

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M\text{.}$ Найдите $MC\text{,}$ если $AB=14\text{,}$ $DC=42\text{,}$ $AC=52\text{.}$

Прямые $AB$ и $DC$ параллельны, поэтому при секущей $AC$ накрест лежащие углы равны: $\angle BAC=\angle DCA\text{,}$ то есть $\angle MAB=\angle MCD\text{.}$ Углы $\angle AMB$ и $\angle CMD$ равны как вертикальные.

Значит, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон, лежащих против равных углов:

Отсюда стороны $AM$ и $CM$ (лежащие на одной прямой $AC$) относятся так же:

Так как $M$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ то $AM+MC=AC=52\text{.}$ Подставляем:

Ответ: $39\text{.}$