Задача №18811

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с меньшим основанием $BC=6\text{,}$ большим основанием $AD\text{,}$ высотой $h=5$ и углом при большем основании $\angle A=45^{\circ }\text{.}$

Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD\text{.}$ Тогда $HK=BC=6$ (противоположные стороны прямоугольника $BCKH$), а из равнобедренности трапеции $AH=KD\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABH\text{:}$ $\angle AHB=90^{\circ }\text{,}$ $\angle A=45^{\circ }\text{,}$ значит $\angle ABH=45^{\circ }$ и треугольник равнобедренный, откуда

$$AH=BH=5.$$

То же и для $KD=5\text{.}$

Следовательно,

$$AD=AH+HK+KD=5+6+5=16.$$

Ответ: 16.