Задача №18338

а) Можно ли представить число $2032$ в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

б) Можно ли представить число $799$ в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

а) Возьмём числа $2024$ и $8\text{.}$ Сумма цифр обоих чисел равна $8\text{,}$ при этом $2024+8=2032\text{.}$ Значит, такое представление возможно.

б) Пусть $799=a+b\text{,}$ где $a$ и $b$ — различные натуральные числа с одинаковой суммой цифр. Сумма цифр любого натурального числа имеет ту же чётность, что и само число (так как $n$ и сумма его цифр сравнимы по модулю $9\text{,}$ а значит и по модулю $3\text{;}$ по модулю $2$ это неверно в общем случае, поэтому рассуждаем иначе).

Заметим, что число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на $9\text{.}$ Если суммы цифр чисел $a$ и $b$ равны, то $a$ и $b$ дают одинаковый остаток при делении на $9\text{,}$ поэтому их сумма $a+b$ делится на $9$ тогда и только тогда, когда этот общий остаток равен... Точнее, $a+b$ сравнимо с удвоенной суммой цифр по модулю $9\text{,}$ то есть $a+b$ чётно как сумма двух чисел одинаковой чётности.

Сумма цифр числа и само число имеют одинаковую чётность лишь по модулю... рассмотрим по модулю $2\text{:}$ если суммы цифр равны, то $a$ и $b$ имеют одну и ту же чётность суммы цифр, значит $a+b$ имеет чётную сумму цифр, и само $a+b$ чётно. Но $799$ — нечётное число, поэтому представить его таким образом нельзя.