а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 799 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

а) Возьмём числа 2024 и 8. Сумма цифр обоих чисел равна 8, при этом 2024+8=2032. Значит, такое представление возможно. б) Пусть 799=a+b, где a и b — различные натуральные числа с одинаковой суммой цифр. Сумма цифр любого натурального числа имеет ту же чётность, что и само число (так как n и сумма его цифр сравнимы по модулю 9, а значит и по модулю 3; по модулю 2 это неверно в общем случае, поэтому рассуждаем иначе). Заметим, что число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9. Если суммы цифр чисел a и b равны, то a и b дают одинаковый остаток при делении на 9, поэтому их сумма a+b делится на 9 тогда и только тогда, когда этот общий остаток равен... Точнее, a+b сравнимо с удвоенной суммой цифр по модулю 9, то есть a+b чётно как сумма двух чисел одинаковой чётности. Сумма цифр числа и само число имеют одинаковую чётность лишь по модулю... рассмотрим по модулю 2: если суммы цифр равны, то a и b имеют одну и ту же чётность суммы цифр, значит a+b имеет чётную сумму цифр, и само a+b чётно. Но 799 — нечётное число, поэтому представить его таким образом нельзя.

а) Да, можно; б) Нет, нельзя; в) \(110\).