Над парами целых чисел проводится операция: из пары (a; b) получается пара (3a + b; 3b - a). а) Можно ли из какой-то пары получить пару (5; 5)? б) Верно ли, что если пара (c; d) может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара (-d; c) тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции? в) Зададим расстояние между парами целых чисел (a; b) и (c; d) выражением |a - c| + |b - d|. Найдите наименьшее расстояние от пары (9; 2) до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Операция: (a; b) (3a+b; 3b-a). а) Существуют ли целые a, b, такие что (3a+b; 3b-a) = (5;5)? Решаем систему: cases 3a + b = 5, 3b - a = 5. cases Из первого уравнения b = 5 - 3a. Подставим во второе: 3(5 - 3a) - a = 5=> 15 - 9a - a = 5=> 15 - 10a = 5=> -10a = -10=> a = 1. Тогда b = 5 - 3* 1 = 2. Пара (1;2) дает (5;5). б) Пусть (c; d) получена из (a; b): c = 3a + b, d = 3b - a. Рассмотрим пару (-d; c). Найдем x, y такие, что 3x + y = -d, 3y - x = c. Решаем систему: Из первого уравнения y = -d - 3x. Подставим во второе: 3(-d - 3x) - x = c=> -3d - 9x - x = c=> -3d - 10x = c=> x = -(c + 3d)/(10). Тогда y = -d - 3(-(c + 3d)/(10)) = -d + (3c + 9d)/(10) = (-10d + 3c + 9d)/(10) = (3c - d)/(10). Так как c = 3a + b и d = 3b - a, то c + 3d = (3a + b) + 3(3b - a) = 3a + b + 9b - 3a = 10b, 3c - d = 3(3a + b) - (3b - a) = 9a + 3b - 3b + a = 10a. Следовательно, x = -b, y = a — целые числа. Таким образом, (-d; c) получается из (-b; a). в) Расстояние между парами (a; b) и (c; d): |a-c| + |b-d|. Нужно минимизировать расстояние от (9; 2) до пары (u; v), которая является образом некоторой целой пары (a; b): u = 3a + b, v = 3b - a. Условие целочисленности a, b: a = (3u - v)/(10), b = (u + 3v)/(10) должны быть целыми, т.е. 3u - v и u + 3v делятся на 10. Переберем точки (u; v) вблизи (9; 2). Расстояние 0: (9; 2) — не подходит, так как 3* 9 - 2 = 25 и 9 + 3* 2 = 15 не делятся на 10. Расстояние 1: (8; 2), (10; 2), (9; 1), (9; 3) — ни одна не дает делимости на 10. Расстояние 2: (7; 2), (11; 2), (9; 0), (9; 4), (8; 1), (8; 3), (10; 1), (10; 3) — ни одна не дает делимости. Расстояние 3: (7; 1): 3* 7 - 1 = 20 делится на 10, 7 + 3* 1 = 10 делится на 10. Расстояние |9-7| + |2-1| = 3. Также подходят (8; 4): 3* 8 - 4 = 20, 8 + 3* 4 = 20 — расстояние 3; (10; 0): 3* 10 - 0 = 30, 10 + 3* 0 = 10 — расстояние 3. Меньше 3 не найдено. Ответ: а) да б) да в) 3

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{\) \(\text{б) } да}\) \(\text{в) }3\)