Задача №15489

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a;b)$ получается пара $(3a+b;3b-a)\text{.}$
а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5;5)\text{?}$

б) Верно ли, что если пара $(c;d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d;c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a;b)$ и $(c;d)$ выражением $|a-c|+|b-d|\text{.}$ Найдите наименьшее расстояние от пары $(9;2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Операция: $(a;b)\to (3a+b;3b-a)\text{.}$

а) Существуют ли целые $a\text{,}$ $b\text{,}$ такие что $(3a+b;3b-a)=(5;5)\text{?}$ Решаем систему:

$$\{\begin{array}{l}3a+b=5,\\ 3b-a=5.\end{array}$$

Из первого уравнения $b=5-3a\text{.}$ Подставим во второе:

$$3(5-3a)-a=5\Rightarrow 15-9a-a=5\Rightarrow 15-10a=5\Rightarrow -10a=-10\Rightarrow a=1.$$

Тогда $b=5-3\cdot 1=2\text{.}$ Пара $(1;2)$ дает $(5;5)\text{.}$

б) Пусть $(c;d)$ получена из $(a;b)\text{:}$ $c=3a+b\text{,}$ $d=3b-a\text{.}$ Рассмотрим пару $(-d;c)\text{.}$ Найдем $x\text{,}$ $y$ такие, что $3x+y=-d\text{,}$ $3y-x=c\text{.}$ Решаем систему:

Из первого уравнения $y=-d-3x\text{.}$ Подставим во второе:

$$3(-d-3x)-x=c\Rightarrow -3d-9x-x=c\Rightarrow -3d-10x=c\Rightarrow x=-\frac{c+3d}{10}.$$

Тогда

$$y=-d-3\left(-\frac{c+3d}{10}\right)=-d+\frac{3c+9d}{10}=\frac{-10d+3c+9d}{10}=\frac{3c-d}{10}.$$

Так как $c=3a+b$ и $d=3b-a\text{,}$ то

$$c+3d=(3a+b)+3(3b-a)=3a+b+9b-3a=10b,$$ $$3c-d=3(3a+b)-(3b-a)=9a+3b-3b+a=10a.$$

Следовательно, $x=-b\text{,}$ $y=a$ — целые числа. Таким образом, $(-d;c)$ получается из $(-b;a)\text{.}$

в) Расстояние между парами $(a;b)$ и $(c;d)\text{:}$ $|a-c|+|b-d|\text{.}$ Нужно минимизировать расстояние от $(9;2)$ до пары $(u;v)\text{,}$ которая является образом некоторой целой пары $(a;b)\text{:}$ $u=3a+b\text{,}$ $v=3b-a\text{.}$ Условие целочисленности $a\text{,}$ $b\text{:}$ $a=\frac{3u-v}{10}\text{,}$ $b=\frac{u+3v}{10}$ должны быть целыми, т.е. $3u-v$ и $u+3v$ делятся на 10.

Переберем точки $(u;v)$ вблизи $(9;2)\text{.}$

Расстояние 0: $(9;2)$ — не подходит, так как $3\cdot 9-2=25$ и $9+3\cdot 2=15$ не делятся на 10.

Расстояние 1: $(8;2)\text{,}$ $(10;2)\text{,}$ $(9;1)\text{,}$ $(9;3)$ — ни одна не дает делимости на 10.

Расстояние 2: $(7;2)\text{,}$ $(11;2)\text{,}$ $(9;0)\text{,}$ $(9;4)\text{,}$ $(8;1)\text{,}$ $(8;3)\text{,}$ $(10;1)\text{,}$ $(10;3)$ — ни одна не дает делимости.

Расстояние 3: $(7;1)\text{:}$ $3\cdot 7-1=20$ делится на 10, $7+3\cdot 1=10$ делится на 10. Расстояние $|9-7|+|2-1|=3\text{.}$

Также подходят $(8;4)\text{:}$ $3\cdot 8-4=20\text{,}$ $8+3\cdot 4=20$ — расстояние 3; $(10;0)\text{:}$ $3\cdot 10-0=30\text{,}$ $10+3\cdot 0=10$ — расстояние 3.

Меньше 3 не найдено.

Ответ:

а) да

б) да

в) 3