Задача №17415

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC\text{,}$ а также его высоты $CH\text{.}$
а) Докажите, что $\angle AOC=90^{\circ }\text{.}$
б) Найдите площадь треугольника $ABC\text{,}$ если $BO=7\text{,}$ $AC=16\text{.}$

а) Пусть $\angle BAC=\alpha \text{.}$ В прямоугольном треугольнике $AHC$ сумма острых углов равна $90^{\circ }\text{,}$ поэтому $\angle ACH=90^{\circ }-\alpha \text{.}$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, $\angle ACB=\alpha \text{,}$ и $\angle BCH=\angle ACB-\angle ACH=\alpha -(90^{\circ }-\alpha )=2\alpha -90^{\circ }\text{.}$

Окружность вписана в треугольник $HBC\text{,}$ её центр $O$ — точка пересечения биссектрис, поэтому $CO$ и $OH$ — биссектрисы углов $HCB$ и $BHC\text{:}$

Тогда из треугольника $COH\text{:}$ $\angle COH=180^{\circ }-45^{\circ }-(\alpha -45^{\circ })=180^{\circ }-\alpha \text{.}$ В четырёхугольнике $ACOH$ сумма противоположных углов $\angle CAH+\angle COH=\alpha +(180^{\circ }-\alpha )=180^{\circ }\text{,}$ значит он вписанный. Вписанные углы $\angle AHC$ и $\angle AOC$ опираются на сторону $AC\text{,}$ поэтому $\angle AOC=\angle AHC=90^{\circ }\text{.}$

б) Центр $O$ лежит на биссектрисе $BO$ угла $B\text{;}$ продлим её до пересечения с $AC$ в точке $M\text{.}$ Так как треугольник равнобедренный, $BM$ — высота и медиана, поэтому $AM=MC=8\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $AOC$ медиана $MO\text{,}$ проведённая к гипотенузе, равна её половине: $MO=\frac{1}{2}AC=8\text{.}$ Тогда высота $BM=BO+OM=7+8=15\text{,}$ и

Ответ: б) 120.