Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC, а также его высоты CH. а) Докажите, что AOC=90^. б) Найдите площадь треугольника ABC, если BO=7, AC=16.

а) Пусть BAC=alpha. В прямоугольном треугольнике AHC сумма острых углов равна 90^, поэтому ACH=90^-alpha. Так как треугольник ABC равнобедренный, ACB=alpha, и BCH= ACB- ACH=alpha-(90^-alpha)=2alpha-90^. Окружность вписана в треугольник HBC, её центр O — точка пересечения биссектрис, поэтому CO и OH — биссектрисы углов HCB и BHC: OCH=(2alpha-90^)/(2)=alpha-45^, CHO=(90^)/(2)=45^. Тогда из треугольника COH: COH=180^-45^-(alpha-45^)=180^-alpha. В четырёхугольнике ACOH сумма противоположных углов CAH+ COH=alpha+(180^-alpha)=180^, значит он вписанный. Вписанные углы AHC и AOC опираются на сторону AC, поэтому AOC= AHC=90^. б) Центр O лежит на биссектрисе BO угла B; продлим её до пересечения с AC в точке M. Так как треугольник равнобедренный, BM — высота и медиана, поэтому AM=MC=8. В прямоугольном треугольнике AOC медиана MO, проведённая к гипотенузе, равна её половине: MO=12 AC=8. Тогда высота BM=BO+OM=7+8=15, и S_(ABC)=12* AC* BM=12* 16* 15=120. Ответ: б) 120.

б) 120