Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Из вершины C проведена высота CH. На гипотенузе AB взята точка P так, что AH=BP. Через точку P проведён перпендикуляр к AB, пересекающий окружность, описанную около треугольника ABC, в точках Q и T. а) Докажите, что ACQB — равнобедренная трапеция. б) Найдите QT, если CQ=5, AB=7.

Введём обозначения: C=90^, поэтому гипотенуза AB — диаметр окружности, описанной около ABC; её центр O — середина AB. Обозначим BC=a, AC=b, AB=c, тогда a^2+b^2=c^2. Высота из прямого угла даёт известные соотношения проекций катетов: AH=(AC^2)/(AB)=(b^2)/(c), BH=(BC^2)/(AB)=(a^2)/(c), CH=(AC* BC)/(AB)=(ab)/(c). а) Докажем, что ACQB — равнобедренная трапеция. По условию AH=BP, значит AP=AB-BP=AB-AH=c-(b^2)/(c)=(c^2-b^2)/(c)=(a^2)/(c)=BH. Таким образом AP=BH, то есть точки P и H симметричны относительно центра O (середины AB). Прямая QT проходит через P перпендикулярно AB, а прямая CH — это перпендикуляр к AB в точке H. Значит хорды CH и QT перпендикулярны диаметру AB в точках, симметричных относительно центра, поэтому эти хорды равноудалены от центра и равны по длине, а вся картина симметрична относительно серединного перпендикуляра к AB (то есть относительно прямой, проходящей через O перпендикулярно AB). При этой осевой симметрии точка C переходит в точку окружности с той же ординатой (высотой над AB) и абсциссой, отражённой относительно O; это в точности одна из точек пересечения прямой QT с окружностью — обозначим её Q. Тогда: — отрезок CQ параллелен AB (концы C и Q находятся на одинаковом расстоянии от прямой AB по одну сторону от неё); — при симметрии относительно серединного перпендикуляра к AB вершина A переходит в B, а C — в Q, поэтому AC переходит в BQ, значит AC=BQ. Итак, в четырёхугольнике ACQB стороны CQ и AB параллельны (основания), а боковые стороны равны: AC=BQ. При этом CQ!= AB (так как C не лежит на AB), поэтому ACQB — равнобедренная трапеция. Что и требовалось доказать. б) Найдём QT при CQ=5, AB=7. Так как C и Q имеют одинаковую высоту над AB, длина CQ равна расстоянию между их проекциями H и P: CQ=HP=AP-AH=(a^2)/(c)-(b^2)/(c)=(a^2-b^2)/(c). Подставляя c=AB=7 и CQ=5, получаем (a^2-b^2)/(7)=5, то есть a^2-b^2=35. Вместе с a^2+b^2=c^2=49 находим a^2=42, b^2=7. Хорда QT перпендикулярна AB и проходит через P; её половина — это расстояние от P до точки пересечения с окружностью. По симметрии QT равна вдвое большей высоте, то есть QT=2* CH: CH=(ab)/(c)=(sqrt(a^2b^2))/(c)=(sqrt(42* 7))/(7)=(sqrt(294))/(7)=(76)/(7)=6. Следовательно QT=2CH=26. Ответ: QT=26.

б) \(QT=2\sqrt{6}\)