Задача №17480

Введём обозначения: $\angle C=90^{\circ }\text{,}$ поэтому гипотенуза $AB$ — диаметр окружности, описанной около $△ABC\text{;}$ её центр $O$ — середина $AB\text{.}$ Обозначим $BC=a\text{,}$ $AC=b\text{,}$ $AB=c\text{,}$ тогда $a^2+b^2=c^2\text{.}$ Высота из прямого угла даёт известные соотношения проекций катетов:

$$AH=\frac{A{C}^2}{AB}=\frac{b^2}{c},BH=\frac{B{C}^2}{AB}=\frac{a^2}{c},CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{ab}{c}.$$

а) Докажем, что $ACQB$ — равнобедренная трапеция.

По условию $AH=BP\text{,}$ значит

$$AP=AB-BP=AB-AH=c-\frac{b^2}{c}=\frac{c^2-b^2}{c}=\frac{a^2}{c}=BH.$$

Таким образом $AP=BH\text{,}$ то есть точки $P$ и $H$ симметричны относительно центра $O$ (середины $AB$). Прямая $QT$ проходит через $P$ перпендикулярно $AB\text{,}$ а прямая $CH$ — это перпендикуляр к $AB$ в точке $H\text{.}$ Значит хорды $CH$ и $QT$ перпендикулярны диаметру $AB$ в точках, симметричных относительно центра, поэтому эти хорды равноудалены от центра и равны по длине, а вся картина симметрична относительно серединного перпендикуляра к $AB$ (то есть относительно прямой, проходящей через $O$ перпендикулярно $AB$).

При этой осевой симметрии точка $C$ переходит в точку окружности с той же ординатой (высотой над $AB$) и абсциссой, отражённой относительно $O\text{;}$ это в точности одна из точек пересечения прямой $QT$ с окружностью — обозначим её $Q\text{.}$ Тогда:
— отрезок $CQ$ параллелен $AB$ (концы $C$ и $Q$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $AB$ по одну сторону от неё);
— при симметрии относительно серединного перпендикуляра к $AB$ вершина $A$ переходит в $B\text{,}$ а $C$ — в $Q\text{,}$ поэтому $AC$ переходит в $BQ\text{,}$ значит $AC=BQ\text{.}$

Итак, в четырёхугольнике $ACQB$ стороны $CQ$ и $AB$ параллельны (основания), а боковые стороны равны: $AC=BQ\text{.}$ При этом $CQ\ne AB$ (так как $C$ не лежит на $AB$), поэтому $ACQB$ — равнобедренная трапеция. Что и требовалось доказать.

б) Найдём $QT$ при $CQ=5\text{,}$ $AB=7\text{.}$

Так как $C$ и $Q$ имеют одинаковую высоту над $AB\text{,}$ длина $CQ$ равна расстоянию между их проекциями $H$ и $P\text{:}$

$$CQ=HP=AP-AH=\frac{a^2}{c}-\frac{b^2}{c}=\frac{a^2-b^2}{c}.$$

Подставляя $c=AB=7$ и $CQ=5\text{,}$ получаем $\frac{a^2-b^2}{7}=5\text{,}$ то есть $a^2-b^2=35\text{.}$ Вместе с $a^2+b^2=c^2=49$ находим

$$a^2=42,b^2=7.$$

Хорда $QT$ перпендикулярна $AB$ и проходит через $P\text{;}$ её половина — это расстояние от $P$ до точки пересечения с окружностью. По симметрии $QT$ равна вдвое большей высоте, то есть $QT=2\cdot CH\text{:}$

$$CH=\frac{ab}{c}=\frac{\sqrt{a^2{b}^2}}{c}=\frac{\sqrt{42\cdot 7}}{7}=\frac{\sqrt{294}}{7}=\frac{7\sqrt{6}}{7}=\sqrt{6}.$$

Следовательно

$$QT=2CH=2\sqrt{6}.$$

Ответ: $QT=2\sqrt{6}\text{.}$