В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT. Из точки H проведены перпендикуляры HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E. а) Докажите, что EH AB. б) Найдите ME, если известно, что AB=17 и AC=16.

Обозначения: в равнобедренном остроугольном треугольнике ABC с AB=BC проведены высоты AH (на сторону BC, Hin BC) и CT (на сторону AB, Tin AB). Из точки H опущены перпендикуляры HK AC (Kin AC) и HM AB (Min AB). Прямая MK пересекает прямую CT в точке E. а) Так как ATC=90^ и AHC=90^, точки T и H видят отрезок AC под прямым углом, поэтому четыре точки A, T, H, C лежат на одной окружности с диаметром AC. Рассмотрим треугольник ATC, вписанный в эту окружность, и точку H на ней. Опустим из H перпендикуляры на три стороны треугольника ATC: — на прямую AC — основание K; — на прямую AT (а это прямая AB, ведь Tin AB) — основание M; — на прямую TC — обозначим основание этого перпендикуляра через E', то есть HE' TC. По теореме о прямой Симсона основания перпендикуляров, опущенных из точки окружности на три стороны вписанного треугольника, лежат на одной прямой. Значит точки K, M, E' коллинеарны, то есть E' лежит на прямой MK. Но E' лежит и на прямой TC (по построению HE' TC, E'in TC). Точка пересечения прямых MK и CT единственна и равна E, поэтому E=E', а значит HE TC. Высота CT перпендикулярна стороне AB, то есть CT AB. Имеем HE CT и AB CT; две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой CT (и лежащие в плоскости треугольника), параллельны. Следовательно EH AB, что и требовалось доказать. б) Пусть AB=BC=17, AC=16. Пусть P — середина AC; тогда BP — высота и медиана к основанию, AP=8, BP=sqrt(17^2-8^2)=sqrt(225)=15. Площадь треугольника: S=12* AC* BP=12* 16* 15=120. Высота AH на сторону BC: из S=12* BC* AH получаем AH=(2S)/(BC)=(240)/(17). В прямоугольном треугольнике AHC ( AHC=90^): CH=sqrt(AC^2-AH^2)=sqrt(256-(57600)/(289))=sqrt((73984-57600)/(289))=sqrt((16384)/(289))=(128)/(17). Тогда BH=BC-CH=17-(128)/(17)=(289-128)/(17)=(161)/(17). Найдём TH. Точки T,H — основания высот; четырёхугольник ATHC вписан в окружность с диаметром AC, и по доказанному в а) фигура MTEH с вершинами в порядке M T E H является прямоугольником: HM AB даёт M=90^, HE AB=MT и HE CT=ME. Поэтому ME=TH. Длину TH найдём из подобия. В окружности с диаметром AC для вписанного четырёхугольника ATHC хорда TH и хорда AC связаны через угол B. Удобнее использовать подобие треугольников BTH и BCA: у них общий угол B, и (BT)/(BC)=(BH)/(BA), так как BT* BA=BH* BC (степень точки B относительно окружности через T,H,A,C); отсюда треугольники BTH и BCA подобны по двум сторонам и общему углу, причём (TH)/(CA)=(BH)/(BC). Значит TH=AC*(BH)/(BC)=16*(161/17)/(17)=16*(161)/(289)=(2576)/(289). Следовательно ME=TH=(2576)/(289). Ответ: б) ME=(2576)/(289).

б) \(ME=\dfrac{2576}{289}\)