Найдите значение выражения (2sin 92^)/(sin 44^ * sin 46^).

Задача №17348: Вычисления и преобразования

Преобразуем числитель. Заметим, что $9 2^{\circ} = 2 \cdot 4 6^{\circ},$ поэтому применим формулу синуса двойного угла:

2 sin 9 2^{\circ} = 2 sin (2 \cdot 4 6^{\circ}) = 2 \cdot 2 sin 4 6^{\circ} cos 4 6^{\circ} = 4 sin 4 6^{\circ} cos 4 6^{\circ} .

Воспользуемся формулой приведения $cos 4 6^{\circ} = sin (9 0^{\circ} - 4 6^{\circ}) = sin 4 4^{\circ} :$

4 sin 4 6^{\circ} cos 4 6^{\circ} = 4 sin 4 6^{\circ} sin 4 4^{\circ} .

Подставим в исходное выражение и сократим:

\frac{2 sin 9 2 ^{\circ}}{sin 4 4 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} = \frac{4 sin 4 6 ^{\circ} sin 4 4 ^{\circ}}{sin 4 4 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} = 4.

Ответ: $4 .$

Преобразуем числитель. Заметим, что $9 2^{\circ} = 2 \cdot 4 6^{\circ},$ поэтому применим формулу синуса двойного угла:

2 sin 9 2^{\circ} = 2 sin (2 \cdot 4 6^{\circ}) = 2 \cdot 2 sin 4 6^{\circ} cos 4 6^{\circ} = 4 sin 4 6^{\circ} cos 4 6^{\circ} .

Воспользуемся формулой приведения $cos 4 6^{\circ} = sin (9 0^{\circ} - 4 6^{\circ}) = sin 4 4^{\circ} :$

4 sin 4 6^{\circ} cos 4 6^{\circ} = 4 sin 4 6^{\circ} sin 4 4^{\circ} .

Подставим в исходное выражение и сократим:

\frac{2 sin 9 2 ^{\circ}}{sin 4 4 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} = \frac{4 sin 4 6 ^{\circ} sin 4 4 ^{\circ}}{sin 4 4 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} = 4.

Ответ: $4 .$