Задача №16935

Имеются два бака равного объёма, первый полный воды, второй — заполненный водой на четверть. Из первого начали выпускать воду со скоростью $10$ л/мин. Одновременно второй бак стали заполнять с постоянной скоростью. Разница объёмов воды в баках дважды составляла $60$ литров: сначала, когда первый бак опустел на $\frac{3}{10}$ объёма, и затем, когда второй бак заполнился на $\frac{3}{5}$ объёма. С какой скоростью (л/мин) заполняли второй бак?

Пусть $V$ — общий объём баков, $x$ — скорость заполнения второго бака (л/мин).

1. Когда первый бак опустел на $\frac{3}{10}$ объёма: $10\cdot t_1=\frac{3}{10}V\text{,}$ откуда $t_1=\frac{3V}{100}$ (мин). К этому моменту:

• в первом баке осталось $V-\frac{3}{10}V=\frac{7}{10}V\text{;}$
• во второй бак прибавилось $x\cdot t_1=\frac{3Vx}{100}\text{,}$ всего стало $\frac{V}{4}+\frac{3Vx}{100}\text{.}$

Разница объёмов равна $60\text{:}$ $V_1-V_2=60\text{,}$ то есть

2. Когда второй бак заполнился на $\frac{3}{5}$ объёма: $\frac{3}{5}V=\frac{V}{4}+x\cdot t_2\text{,}$ откуда $t_2=\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{4}\right)\cdot \frac{V}{x}=\frac{7V}{20x}\text{.}$

За время $t_2$ из первого бака вытечет $10\cdot \frac{7V}{20x}=\frac{7V}{2x}$ литров, в нём останется $V-\frac{7V}{2x}\text{.}$ Теперь объём во втором баке больше, и снова разница $60\text{:}$

3. Разделим оба уравнения на $V$ и приравняем выражения для $\frac{60}{V}\text{:}$

Дискриминант: $D=85^2-4\cdot 3\cdot 350=7225-4200=3025=55^2\text{.}$

Корни: $x=\frac{85\pm 55}{6}\text{.}$

Подходит $x=\frac{30}{6}=5$ (л/мин); второй корень $x=\frac{140}{6}\approx 23,3$ не удовлетворяет реалистичности (при нём второй бак переполнится раньше первой контрольной точки).

Ответ: $5$ л/мин.