Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 100 км, навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через 4 часа они встретились. После встречи скорость первого велосипедиста, едущего из А в В, возросла на 5 км/ч, а скорость второго, едущего из В в А, возросла на 10 км/ч. Известно, что первый велосипедист прибыл в пункт В на 1 час раньше, чем второй прибыл в пункт А. Определить первоначальную скорость первого велосипедиста в км/ч.

Пусть v_1 и v_2 — начальные скорости велосипедистов (в км/ч). За 4 часа они вместе прошли 100 км, следовательно: v_1 + v_2 = 25. После встречи первый велосипедист проходит остаток пути 4v_2 км со скоростью v_1 + 5 км/ч, а второй — остаток 4v_1 км со скоростью v_2 + 10 км/ч. По условию первый прибыл в пункт назначения на 1 час раньше второго: (4v_1)/(v_2 + 10) - (4v_2)/(v_1 + 5) = 1. Подставим v_2 = 25 - v_1 : (4v_1)/(35 - v_1) - (4(25 - v_1))/(v_1 + 5) = 1. Проверим корень v_1 = 15 : тогда v_2 = 10 . Подставляя эти значения, получаем: (60)/(20) - (40)/(20) = 3 - 2 = 1. Найдём остальные корни, решив квадратное уравнение: 4v_1(v_1 + 5) - 4(25 - v_1)(35 - v_1) = (35 - v_1)(v_1 + 5); 4v_1^2 + 20v_1 - 4(875 - 60v_1 + v_1^2) = -v_1^2 + 30v_1 + 175; 4v_1^2 + 20v_1 - 3500 + 240v_1 - 4v_1^2 = -v_1^2 + 30v_1 + 175; 260v_1 - 3500 = -v_1^2 + 30v_1 + 175; v_1^2 + 230v_1 - 3675 = 0. Вычислим дискриминант: D = 230^2 + 4 * 3675 = 52900 + 14700 = 67600, sqrt(D) = 260. Найдём корни уравнения: v_1 = (-230 + 260)/(2) = 15 или v_1 = (-230 - 260)/(2) = -245. Отрицательное значение скорости не подходит по смыслу задачи. Ответ: 15

15