Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ФИПИ
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел, принадлежащих отрезку [100;600]?
Пусть трёхзначное число N=100a+10b+c, где a,b,c — цифры, a∈{1,…,9}, b,c∈{0,…,9}. Операция: R=3N−(a+b+c).
Упростим числитель:
N−(a+b+c)=100a+10b+c−a−b−c=99a+9b=9(11a+b).Следовательно,
R=39(11a+b)=3(11a+b).а) Чтобы R=300, нужно 3(11a+b)=300⇒11a+b=100.
При a=9, b=1 получаем 11⋅9+1=100.
Например, число N=910: сумма цифр 9+1+0=10, 910−10=900, 900:3=300.
Значит, может.
б) Чтобы R=151, нужно 3(11a+b)=151⇒11a+b=3151, что не является целым числом.
Значит, не может.
в) Рассмотрим числа, принадлежащие отрезку [100;600].
Тогда a может быть 1,2,3,4,5, а также при a=6 только число 600 (т.е. b=0, c=0).
Для каждого допустимого a значение b пробегает от 0 до 9, за исключением случая a=6, где только b=0.
Таким образом, пары (a,b): для a=1,…,5 — по 10 пар, итого 50 пар, и одна пара (6,0).
Значения 11a+b для этих пар различны, поскольку при фиксированном a они лежат в непересекающихся промежутках:
a=1: от 11 до 20,
a=2: от 22 до 31,
a=3: от 33 до 42,
a=4: от 44 до 53,
a=5: от 55 до 64,
a=6: 66.
После умножения на 3 получаем различные значения R.
Следовательно, количество различных результатов равно количеству пар, то есть 50+1=51.
Ответ:
а) Может.
б) Не может.
в) 51.