С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151? в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел, принадлежащих отрезку [100;600]?

Пусть трёхзначное число N = 100a+10b+c, где a,b,c — цифры, ain 1,,9, b,cin 0,,9. Операция: R = (N - (a+b+c))/(3). Упростим числитель: N - (a+b+c) = 100a+10b+c - a - b - c = 99a+9b = 9(11a+b). Следовательно, R = (9(11a+b))/(3) = 3(11a+b). а) Чтобы R=300, нужно 3(11a+b)=300=> 11a+b=100. При a=9, b=1 получаем 11* 9 + 1 = 100. Например, число N=910: сумма цифр 9+1+0=10, 910-10=900, 900:3=300. Значит, может. б) Чтобы R=151, нужно 3(11a+b)=151=> 11a+b=(151)/(3), что не является целым числом. Значит, не может. в) Рассмотрим числа, принадлежащие отрезку [100;600]. Тогда a может быть 1,2,3,4,5, а также при a=6 только число 600 (т.е. b=0, c=0). Для каждого допустимого a значение b пробегает от 0 до 9, за исключением случая a=6, где только b=0. Таким образом, пары (a,b): для a=1,,5 — по 10 пар, итого 50 пар, и одна пара (6,0). Значения 11a+b для этих пар различны, поскольку при фиксированном a они лежат в непересекающихся промежутках: a=1: от 11 до 20, a=2: от 22 до 31, a=3: от 33 до 42, a=4: от 44 до 53, a=5: от 55 до 64, a=6: 66. После умножения на 3 получаем различные значения R. Следовательно, количество различных результатов равно количеству пар, то есть 50+1=51. Ответ: а) Может. б) Не может. в) 51.

а) да б) нет в) 51