Задача №15362

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2580 тыс. рублей. Сколько рублей составит долг в июле 2030 года?

Пусть первые пять лет долг уменьшается на $x$ тыс. рублей ежегодно. Начальный долг 1300 тыс. рублей.

Долг в июле 2030 года:

$$D=1300-5x.$$

Вторые пять лет долг уменьшается на $y$ тыс. рублей ежегодно, причём $D-5y=0\text{,}$ откуда $y=\frac{D}{5}\text{.}$

Сумма всех выплат равна 2580 тыс. рублей, поэтому сумма процентов:

$$2580-1300=1280.$$

Долги на начало каждого года с 2026 по 2035:

$$1300,1300-x,1300-2x,1300-3x,1300-4x,D,\frac{4}{5}D,\frac{3}{5}D,\frac{2}{5}D,\frac{1}{5}D.$$

Их сумма:

$$(5\cdot 1300-10x)+3D=6500-10x+3(1300-5x)=6500-10x+3900-15x=10400-25x.$$

Процентная ставка 20%, поэтому сумма процентов:

$$0.2(10400-25x)=2080-5x.$$

Уравнение:

$$2080-5x=1280\Rightarrow 5x=800\Rightarrow x=160.$$

Тогда долг в июле 2030 года:

$$D=1300-5\cdot 160=1300-800=500.$$

Ответ: 500000 рублей.