Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: T(t) = T_0 + b t + a t^2, где t — время (в мин.), T_0 = 1600 К, a = -5 К/мин², b = 105 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

T(t) = 1600 + 105t - 5t^2 . Температура не должна превышать 1870 К, поэтому найдём моменты, когда T(t) = 1870 : 1600 + 105t - 5t^2 = 1870 -5t^2 + 105t - 270 = 0 Умножим на -1: 5t^2 - 105t + 270 = 0 Разделим на 5: t^2 - 21t + 54 = 0 Дискриминант: D = 21^2 - 4* 1* 54 = 441 - 216 = 225 Корни: t_1 = (21 - sqrt(225))/(2) = (21 - 15)/(2) = 3, t_2 = (21 + 15)/(2) = 18 Функция T(t) — парабола с ветвями вниз (коэффициент при t^2 отрицателен). При t < 3 температура меньше 1870 К, при t = 3 равна 1870 К, при 3 < t < 18 больше 1870 К, при t = 18 снова равна 1870 К, при t > 18 меньше 1870 К. Чтобы прибор не испортился, его нужно отключить до того, как температура станет выше 1870 К. Это происходит при t > 3 . Следовательно, наибольшее время, когда температура ещё не превысила 1870 К, — это t = 3 минуты. Ответ: 3 минуты.

\(3\)