Задача №09207

Плоскость, проходящая через точки $A\text{,}$ $B$ и $C$ (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с меньшим числом вершин?

Пусть вершинами исходного тетраэдра являются $S$ (верхняя вершина), $D$ (левая вершина основания), $E$ (передняя вершина основания) и $F$ (правая вершина основания).

Из рисунка видно, что точки $A\text{,}$ $B$ и $C$ лежат на рёбрах тетраэдра, сходящихся в вершине $F\text{:}$

• точка $A$ лежит на ребре $DF\text{;}$
• точка $B$ лежит на ребре $SF\text{;}$
• точка $C$ лежит на ребре $EF\text{.}$

Плоскость, проходящая через эти точки, отсекает от исходного тетраэдра треугольную пирамиду (тетраэдр) $FABC\text{.}$

Сравним количество вершин полученных многогранников:
1. У отсечённого тетраэдра $FABC$ четыре вершины: $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $F\text{.}$
2. У оставшейся части шесть вершин: $S\text{,}$ $D\text{,}$ $E\text{,}$ $A\text{,}$ $B$ и $C\text{.}$

Многогранник с меньшим числом вершин — это тетраэдр $FABC\text{.}$ Любой тетраэдр имеет 6 рёбер (в данном случае это $FA\text{,}$ $FB\text{,}$ $FC\text{,}$ $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CA$).

Таким образом, у получившегося многогранника с меньшим числом вершин 6 рёбер.