Задача №09190

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Для нахождения числа рёбер получившегося многогранника выполним поэтапный расчёт:

1. Исходный многогранник:
Исходная фигура — правильная пятиугольная призма.

• Число вершин: $V_0=10$ (по 5 в каждом из двух оснований);
• Число рёбер: $E_0=15$ (5 в нижнем основании, 5 в верхнем основании и 5 боковых рёбер);
• Число граней: $F_0=7$ (2 пятиугольных основания и 5 боковых граней-прямоугольников).

2. Процесс отпиливания вершин:

• При отпиливании каждой из 10 вершин на её месте образуется новая треугольная грань.
• Каждая такая новая грань имеет 3 ребра. Поскольку отпилы делаются независимо друг от друга вокруг каждой вершины, эти новые треугольные грани не имеют общих рёбер между собой. Таким образом, появляется $10\times 3=30$ новых рёбер.
• Все 15 исходных рёбер призмы при этом укорачиваются, но сохраняются как отдельные рёбра нового многогранника.

3. Общее число рёбер:

4. Проверка по формуле Эйлера $V-E+F=2\text{:}$

• Число вершин нового многогранника: вместо каждой из 10 вершин исходной призмы теперь по 3 вершины нового треугольного сечения, то есть $V=10\times 3=30\text{.}$
• Число граней нового многогранника: 2 изменённых основания (стали десятиугольниками), 5 боковых граней (стали восьмиугольниками) и 10 новых треугольных граней на месте отпиленных вершин. Всего $F=2+5+10=17\text{.}$
• Подставим в формулу Эйлера:

Равенство верно.

Ответ: 45.