Задача №09217

У куба изначально было 12 рёбер и 8 вершин.

Когда отпиливают каждую из 8 вершин куба, на её месте образуется новая треугольная грань. Каждая такая грань имеет 3 новые стороны, которые становятся новыми рёбрами многогранника.

Таким образом, отпилив 8 вершин, мы получаем:

$$8\times 3=24\text{ новых рёбер}.$$

Каждое из 12 первоначальных рёбер куба укоротилось, но сохранилось в виде отдельного ребра (так как срезы вершин не пересекаются друг с другом). Это даёт ещё 12 рёбер.

Итого у получившегося многогранника:

$$12+24=36\text{ рёбер}.$$

Альтернативный способ (через формулу Эйлера):

1. Число вершин $V\text{:}$ Вместо каждой из 8 вершин куба появилось по 3 новые вершины, то есть всего:

$$V=8\times 3=24.$$

2. Число граней $F\text{:}$ У куба было 6 граней (которые теперь превратились в восьмиугольники), и добавилось 8 новых треугольных граней на месте спиленных вершин. Всего:

$$F=6+8=14.$$

3. По формуле Эйлера для выпуклого многогранника $V-E+F=2\text{,}$ где $E$ — число рёбер:

$$24-E+14=2\Rightarrow E=36.$$

Ответ: 36.