Задача №09108

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ рёбра $AB\text{,}$ $AD$ и диагональ $A{B}_1$ боковой грани равны соответственно 5, 4 и $\sqrt{34}\text{.}$ Найдите объём параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\text{.}$

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:

Нам известны длины двух рёбер: $AB=5$ и $AD=4\text{.}$ Высота параллелепипеда $A{A}_1$ равна ребру $B{B}_1\text{.}$

Рассмотрим боковую грань $AB{B}_1{A}_1\text{.}$ Поскольку параллелепипед прямоугольный, эта грань является прямоугольником, а треугольник $AB{B}_1$ — прямоугольным с прямым углом $B\text{.}$ По теореме Пифагора:

Подставим известные значения:

Таким образом, высота параллелепипеда $A{A}_1=B{B}_1=3\text{.}$

Найдём объём параллелепипеда:

Ответ: 60.