Задача №09094

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ рёбра $BC\text{,}$ $BA$ и диагональ $B{C}_1$ боковой грани равны соответственно 5, 7 и $\sqrt{34}\text{.}$ Найдите объём параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\text{.}$

Диагональ $B{C}_1$ лежит в боковой грани $BC{C}_1{B}_1\text{.}$ Эта грань — прямоугольник со сторонами $BC$ (ребро основания) и $C{C}_1$ (боковое ребро, высота параллелепипеда). Диагональ $B{C}_1$ делит её на два прямоугольных треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BC{C}_1$ с прямым углом при вершине $C\text{.}$ По теореме Пифагора:

Подставим известные значения $BC=5$ и $B{C}_1=\sqrt{34}\text{:}$

Тогда:

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений $BC\text{,}$ $BA$ и $C{C}_1\text{:}$

Ответ: 105.